函数极限最大值与最小值应用问题

Question

某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20m 长的墙壁，问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？

拜托大家分析分析,并能列个式子 谢谢啦

Answer 1

考察均值不等式a+b>=2倍的根号ab
结论：当a,b之和为常数时，a,b之积有最大值；当a,b之积为常数时，a,b之和有最小值；
设长为 x ，宽为 y ，由已知得x+2y=20
（分析：出现和为常数，则积有最大值）
故S=x*y=(x*(2y)) /2<=((x+2y)/2)^2/2=50
上式当且仅当x=2y 时取等号，解得y=5,x=10
即当x=10，y=5时面积最大为50.

注：^2表示平方
另外，第二个等号处凑上一个2的目的是用上已知条件中和为常数的两个数x和2y,结合上面的结论，可以求S的最大值。

Answer 2

长 x ，宽 y
x+2y=20 ,靠墙壁的长不算了
20=x+2y>=2根号（2xy)
100>=2xy
xy<=50

当x=2y 时，面积最大 ，2y^2=50 ,y^2=25 ,y=5,x=10

Answer 3

“口”字的正方形周长是20×2=40米，面积最大（边长10米）

20米围成的长方形小屋，就相当于“口”字的正方形中间隔一堵墙，（“-曰-”）由于正方形面积最大，所以小屋面积相当于“口”形的1/2，其面积也最大。
围成的长方形长=正方形边长=20×2÷4=10米，

围成的长方形宽=正方形边长×1/2=10×1/2=5米

Answer 4

设长 x ，宽为 （20-2x）/2 ，则这个矩形的面积：

y = x * （20-2x）/2 = 10x - x^2

初中时学的极值计算方法忘记了，但可以用 Excel 的规划求解方法计算。计算结果为 x = 5 时矩形的面积最大（25平方米）。

不过这时好像不是你的要求了，因为这个是正方形，而你的要求是“长方形”。