高等数学 二重积分中值定理 和“中值”到底有什么关系？还有老师讲几何意义时画了个图，说交线上的点(

Question

高等数学 二重积分中值定理 和“中值”到底有什么关系？还有老师讲几何意义时画了个图，说交线上的点(在D上的投影)才符合条件，为什么是交线上？

Answer 1

二重积分的几何意义是曲顶柱体体积，中值定理意思是找一个与之体积相同的同底的平顶柱体，该平顶柱体之高一定介于曲顶柱体高的最大与最小之处间，显然此两柱体的交线处所在高度刚好就是f(ξi,ηi).其中(ξi,ηi)是交线在xoy平面上投影线上的任一点！相信你明白了追问

你何来的信任😂😂没明白，什么叫“显然”就是交线

追答

就是说那曲顶柱体与平顶柱体的顶部的交线应该在原曲面上，所以满足z=f(x,y)方程，且函数值f(ξi,ηi）为定值也即是那条交线离开xoy面的高度，也即是平顶柱体的高。（ξi,ηi)为那交线上任一点在xoy面上的投影点坐标。

Answer 2

若用几何意义曲顶柱体的体积来解释，
二重积分中值定理中的“中值”点P0处的函数值f(P0)乘以D的面积，
也就是一个平顶柱体的面积，
这个面积=曲顶柱体的面积。
所以把f(P0)理解为f在其曲面上取值的中值。
类似于对定积分中值定理的理解，可以类比一下。
关于问题“还有老师讲几何意义时画了个图，说交线上的点(在D上的投影)才符合条件，为什么是交线上？”
其中的复述可能不全。追问

就是找P0

交线在D上的投影都是PO

就是我在D上画的一道弧线，从曲面拉下来的

您明白我的问题了吗？求解答！

反正就是说，P0怎么找的

追答

中值定理的结论只是保证了中间点P0的存在性，
并未给出找到P0值的方法。
P0必属于D。
对于“交线”之说，
例如一个圆锥体，
是由底圆(域D)所在的平面与圆锥面围成，
它的体积会与一个以D为底的平顶柱体的体积相同，
考虑一下，
该平顶柱体的高所对应的中间点是否符合
“交线在D上的投影都是P0”。

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