前提应有:f₁(x)与f₂(x)的非零范围相同
由于f₁(x)≥0,f₂(x)≥0,0≤F₁(x)≤1,0≤F₂(x)≤1
因此0≤f₁(x)* F₂(x)≤f₁(x),0≤f₂(x)* F₁(x)≤f₂(x)
1. ∫{-∞,+∞}[ f₁(x)* F₂(x)]dx<∫{-∞,+∞} f₁(x) dx=1
故f₁(x)* F₂(x)不可能是密度函数,C不正确
2. 若0≤f₁(x)<1或0≤f₂(x)<1,则
∫{-∞,+∞}[ f₁(x)* f₂(x)]dx <∫{-∞,+∞} f₂(x)dx=1
或∫{-∞,+∞}[f₁(x)* f₂(x)]dx <∫{-∞,+∞} f₁(x)dx=1
此时,f₁(x)* f₂(x)不是密度函数,A不正确
密度函数小于1的例子很多,比如:
指数分布中,参数λ<1的情况;正态分布中,参数σ>1/√(2*π) 的情况
当然,f₁(x)* f₂(x)也有可能是密度函数
取指数分布 :X₁~E(λ₁) ,X₂~E(λ₂),λ₁>0, λ₂>0
只要λ₁与λ₂满足1/λ₁+1/λ₂=1,f₁(x)* f₂(x)就是密度函数
3. ∫{-∞,+∞}[ f₁(x)* F₂(x) +f₂(x)* F₁(x)]dx
=∫{-∞,+∞}[f₁(x)* F₂(x)]dx+∫{-∞,+∞}[ f₂(x)* F₁(x)]dx
=∫{-∞,+∞}F₂(x) d[F₁(x)]+∫{-∞,+∞}[ f₂(x)* F₁(x)]dx
= F₂(x)* F₁(x)| {-∞,+∞}-∫{-∞,+∞} F₁(x)f₂(x) dx+∫{-∞,+∞}[ f₂(x)* F₁(x)]dx
=1
即f₁(x)* F₂(x) +f₂(x)* F₁(x)必为密度函数,D正确
4. 注意到0<∫{-∞,+∞} f₂(x)* F₁(x) dx< ∫{-∞,+∞}f₂(x) dx=1
若令∫{-∞,+∞}[ 2* f₂(x)* F₁(x)]dx =1,则∫{-∞,+∞} f₂(x)* F₁(x) dx=1/2
而该结论不一定成立,构造反例仍取数分布 :X₁~E(λ₁) ,X₂~E(λ₂)
∫{-∞,+∞} f₂(x)* F₁(x) dx =∫{0,+∞}{λ₂*e^(-λ₂*x) *[1-e^(-λ₁*x)]}dx
=1-λ₂/(λ₁+λ₂)
=λ₁/(λ₁+λ₂)
显然,当λ₁≠λ₂时,∫{-∞,+∞} f₂(x)* F₁(x) dx≠1/2,故B不正确
只有当λ₁=λ₂时,2* f₂(x)* F₁(x)为密度函数
简单一些,也可以取X₁~U[0,1],则f₁(x)=1 ;0≤x≤1
f₁(x)=0, 其他
分布函数F₁(x)为:当x<0时, F₁(x)= 0
当0≤x≤1时,F₁(x)= x
当x>1时, F₁(x)= 1
X₂的密度函数 :f₂(x)=2*x ;0≤x≤1
f₂(x)=0, 其他
而∫{-∞,+∞}[ 2* f₂(x)* F₁(x)]dx=∫{0,1}[ 2*2*x * x]dx=4/3 >1
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