概率论中分布函数和概率密度问题请教，谢谢；

Question

我想知道选项B如何推出不正确的？我用概率密度在负无穷到正无穷上的积分为1来做，但是推不出，计算总是在循环？谁有办法判断这个选项，最好能提供一些解决这类问题的方法，谢谢；

Answer 1

前提应有：f₁(x)与f₂(x)的非零范围相同

由于f₁(x)≥0，f₂(x)≥0，0≤F₁(x)≤1，0≤F₂(x)≤1
因此0≤f₁(x)* F₂(x)≤f₁(x)，0≤f₂(x)* F₁(x)≤f₂(x)

1. ∫{-∞,+∞}[ f₁(x)* F₂(x)]dx<∫{-∞,+∞} f₁(x) dx=1
故f₁(x)* F₂(x)不可能是密度函数，C不正确

2. 若0≤f₁(x)<1或0≤f₂(x)<1，则
∫{-∞,+∞}[ f₁(x)* f₂(x)]dx <∫{-∞,+∞} f₂(x)dx=1
或∫{-∞,+∞}[f₁(x)* f₂(x)]dx <∫{-∞,+∞} f₁(x)dx=1
此时，f₁(x)* f₂(x)不是密度函数，A不正确

密度函数小于1的例子很多，比如：
指数分布中，参数λ<1的情况；正态分布中，参数σ>1/√(2*π) 的情况
当然，f₁(x)* f₂(x)也有可能是密度函数
取指数分布 ：X₁~E(λ₁) ，X₂~E(λ₂)，λ₁>0, λ₂>0
只要λ₁与λ₂满足1/λ₁+1/λ₂=1，f₁(x)* f₂(x)就是密度函数

3. ∫{-∞,+∞}[ f₁(x)* F₂(x) +f₂(x)* F₁(x)]dx
=∫{-∞,+∞}[f₁(x)* F₂(x)]dx+∫{-∞,+∞}[ f₂(x)* F₁(x)]dx
=∫{-∞,+∞}F₂(x) d[F₁(x)]+∫{-∞,+∞}[ f₂(x)* F₁(x)]dx
= F₂(x)* F₁(x)| {-∞,+∞}-∫{-∞,+∞} F₁(x)f₂(x) dx+∫{-∞,+∞}[ f₂(x)* F₁(x)]dx
=1
即f₁(x)* F₂(x) +f₂(x)* F₁(x)必为密度函数，D正确

4. 注意到0<∫{-∞,+∞} f₂(x)* F₁(x) dx< ∫{-∞,+∞}f₂(x) dx=1
若令∫{-∞,+∞}[ 2* f₂(x)* F₁(x)]dx =1，则∫{-∞,+∞} f₂(x)* F₁(x) dx=1/2
而该结论不一定成立，构造反例仍取数分布 ：X₁~E(λ₁) ，X₂~E(λ₂)
∫{-∞,+∞} f₂(x)* F₁(x) dx =∫{0,+∞}{λ₂*e^(-λ₂*x) *[1-e^(-λ₁*x)]}dx
=1-λ₂/(λ₁+λ₂)
=λ₁/(λ₁+λ₂)
显然，当λ₁≠λ₂时，∫{-∞,+∞} f₂(x)* F₁(x) dx≠1/2，故B不正确
只有当λ₁=λ₂时，2* f₂(x)* F₁(x)为密度函数

简单一些，也可以取X₁~U[0,1]，则f₁(x)=1 ；0≤x≤1
f₁(x)=0, 其他
分布函数F₁(x)为：当x<0时， F₁(x)= 0
当0≤x≤1时，F₁(x)= x
当x>1时， F₁(x)= 1
X₂的密度函数 ：f₂(x)=2*x ；0≤x≤1
f₂(x)=0, 其他
而∫{-∞,+∞}[ 2* f₂(x)* F₁(x)]dx=∫{0,1}[ 2*2*x * x]dx=4/3 >1

Answer 2

给你举个例子，f_2(x)是 [1,2]上均匀分布的密度，F_1(x)是[3,4]上的均匀分布的分布函数，则二者的乘积恒等于0，显然不是密度。