江苏省无锡市2007年初中毕业高级中等学校招生考试数学试卷
注意事项：
1．本试卷满分130分，考试时间为120分钟．
2．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其余各题均应给出精确结果．
一、细心填一填（本大题共有12小题，15空，每空2分，共30分．请把结果直接填在题中的横线上．只要你理解概念，仔细计算，相信你一定会填对的！）
1． 的相反数是 ， 的算术平方根是 ．
2．分解因式： ．
3．设一元二次方程 的两个实数根分别为 和 ，则 ， ．
4．据国家考试中心发布的信息，我国今年参加高考的考生数达10 100 000人，这个数据用科学记数法可表示为 人．
5．函数 中自变量 的取值范围是 ，
函数 中自变量 的取值范围是 ．
6．某商场今年五月份的销售额是200万元，比去年五月份销售额的2倍少40万元，那么去年五月份的销售额是 万元．
7．反比例函数 的图象经过点 ，则 的值为 ．
8．八边形的内角和为 度．
9．如图，已知 ， ，则 ．
10．如图， 是 的弦， 于 ，若 ， ，则 的半径长为 ．
11．写出生活中的一个随机事件： ．
12．如图1是一种带有黑白双色、边长是 的正方形装饰瓷砖，用这样的四块瓷砖可以拼成如图2的图案．已知制作图1这样的瓷砖，其黑、白两部分所用材料的成本分别为 元／ 和 元／ ，那么制作这样一块瓷砖所用黑白材料的最低成本是 元（ 取 ，结果精确到 元）．
图1 图2
二、精心选一选（本大题共有7小题，每小题3分，共21分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填在题后的括号内．只要你掌握概念，认真思考，相信你一定会选对的！）
13．化简分式 的结果为（ ）
A． B． C． D．
14．下面与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
15．下面四个图案中，是旋转对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
16．一元二次方程 的解是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
17．圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，则它的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
18．如图是一个圆柱体和一长方体组成的几何体，圆柱的下底面紧贴在长方体的上底面上，那么这个几何体的俯视图为（ ）
上面
19．任何一个正整数 都可以进行这样的分解： （ 是正整数，且 ），如果 在 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称 是 的最佳分解，并规定： ．例如18可以分解成 ， ， 这三种，这时就有 ．给出下列关于 的说法：（1） ；（2） ；（3） ；（4）若 是一个完全平方数，则 ．其中正确说法的个数是（ ）
A． B． C． D．
三、认真答一答（本大题共有8小题，共60分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．只要你积极思考，细心运算，你一定会解答正确的！）
20．（本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，满分10分）
（1）计算： ；
（2）解不等式组 并写出它的所有整数解．
21．（本小题满分7分）
如图，已知四边形 是菱形，点 分别是边 ， 的中点．求证： ．
22．（本小题满分6分）
如图， 是 的直径， 切 于 ， 交 于 ，连 ．若 ，求 的度数．
23．（本小题满分8分）
如图是甲、乙两人在一次射击比赛中击中靶的情况（击中靶中心的圆面为10环，靶中各数字表示该数所在圆环被击中所得的环数）每人射击了6次．
（1）请用列表法将他俩的射击成绩统计出来；
（2）请你用学过的统计知识，对他俩的这次射击情况进行比较．
24．（本小题满分6分）
某商场搞摸奖促销活动：商场在一只不透明的箱子里放了三个相同的小球，球上分别写有“10元”、“20元”、“30元”的字样．规定：顾客在本商场同一日内，每消费满100元，就可以在这只箱子里摸出一个小球（顾客每次摸出小球看过后仍然放回箱内搅匀），商场根据顾客摸出小球上所标金额就送上一份相应的奖品．现有一顾客在该商场一次性消费了235元，按规定，该顾客可以摸奖两次，求该顾客两次摸奖所获奖品的价格之和超过40元的概率．
25．（本小题满分6分）
图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了 层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为 ．
图1 图2 图3 图4
如果图1中的圆圈共有12层，（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数 ，则最底层最左边这个圆圈中的数是 ；（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数 ， ， ， ，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和．
26．（本小题满分9分）
小明早晨从家里出发匀速步行去上学，小明的妈妈在小明出发后10分钟，发现小明的数学课本没带，于是她带上课本立即匀速骑车按小明上学的路线追赶小明，结果与小明同时到达学校．已知小明在整个上学途中，他出发后 分钟时，他所在的位置与家的距离为 千米，且 与 之间的函数关系的图像如图中的折线段 所示．
（1）试求折线段 所对应的函数关系式；
（2）请解释图中线段 的实际意义；
（3）请在所给的图中画出小明的妈妈在追赶小明的过程中，她所在位置与家的距离 （千米）与小明出发后的时间 （分钟）之间函数关系的图像．（友情提醒：请对画出的图像用数据作适当的标注）
27．（本小题满分8分）
王大伯要做一张如图1的梯子，梯子共有8级互相平行的踏板，每相邻两级踏板之间的距离都相等．已知梯子最上面一级踏板的长度 ，最下面一级踏板的长度 ．木工师傅在制作这些踏板时，截取的木板要比踏板长，以保证在每级踏板的两个外端各做出一个长为4cm的榫头（如图2所示），以此来固定踏板．现市场上有长度为2.1m的木板可以用来制作梯子的踏板（木板的宽厚和厚度正好符合要制作梯子踏板的要求），请问：制作这些踏板，王大伯最少需要买几块这样的木板？请说明理由．（不考虑锯缝的损耗）
四、实践与探索（本大题共2小题，满分19分．只要你开动脑筋，大胆实践，勇于探索，你一定会成功！）
28．（本小题满分10分）
如图，平面上一点 从点 出发，沿射线 方向以每秒1个单位长度的速度作匀速运动，在运动过程中，以 为对角线的矩形 的边长 ；过点 且垂直于射线 的直线 与点 同时出发，且与点 沿相同的方向、以相同的速度运动．
（1）在点 运动过程中，试判断 与 轴的位置关系，并说明理由．
（2）设点 与直线 都运动了 秒，求此时的矩形 与直线 在运动过程中所扫过的区域的重叠部分的面积 （用含 的代数式表示）．
29．（本小题满分9分）
（1）已知 中， ， ，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）
（2）已知 中， 是其最小的内角，过顶点 的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求 与 之间的关系．
[参考答案]
http://www.12999.com 一、细心填一填（本大题共有12小题，15空，每空2分，共30分）
1．5，3 2． 3．6，4 4． 5．
6． 7． 8．1080 9．110 10．
11．明天我市下雨（答案不唯一） 12．6.37
二、精心选一选（本大题共有7个小题，每小题3分，共21分）
13．A 14．C 15．D 16．B 17．A 18．C 19．B
三、认真答一答（本大题共有8小题，共60分）
20．解：（1）原式 3分
． 4分
（2）由 ，得 ． 2分
由 ，得 ． 4分
不等式组的解集是 ． 5分
它的所有整数解为 ． 6分
21．证明：菱形 中， ． 1分
分别是 的中点，
． 3分
又 ， ． 5分
． 7分
22．解： 切 于 是 的直径， ． 2分
， ． 4分
． 6分
23．（1）解：
环数 6 7 8 9 10
甲命中次数 2 2 2
乙命中次数 1 3 2
列表正确得2分．
（2） 环， 环， ， 6分（算对一个得1分）
， ， 甲与乙的平均成绩相同，但甲发挥的比乙稳定． 8分
24．解：列树状图如下：
第一次摸得奖品价格 10 20 30
第二次摸得奖品价格 10 20 30 10 20 30 10 20 30 4分
两次奖品价格之和 20 30 40 30 40 50 40 50 60
两次摸奖结果共有9种情况，其中两次奖品价格之和超过40元的有3种情况，故所求概率为 ． 6分
25．解：（1）67． 2分
（2）图4中所有圆圈中共有 个数，
其中23个负数，1个0，54个正数， 4分
图4中所有圆圈中各数的绝对值之和
． 6分
26．解：（1）线段 对应的函数关系式为： （ ） 2分
线段 对应的函数关系式为： ． 4分
（2）图中线段 的实际意义是：小明出发12分钟后，沿着以他家为圆心，1千米为半径的圆弧形道路上匀速步行了8分钟． 7分
（3）如图中折线段 ． 9分
27．解法一：如图，设自上往下第2，3，4，5，6，7级踏板的
长依次为 ， ，…， ，过 作 的平行线分别
交 ， ，…， 于点 ， ，…， ．
每两级踏板之间的距离相等， ，
． ， ， ，
， ， ， ，
2分
设要制作 ， ，…， ， 这些踏板需用木板的长度分别为 ， ，…， ，则 ， ， ， ， ， ， ， ． 5分
，
王大伯买的木板肯定不能少于3块． 6分
又 ， ，
，
王大伯最少买3块这样的木板就行了． 8分
解法二：如图，分别取 ， 的中点 ，
连结 ．
设自上往下第2，3，4，5，6，7级踏板的长依次为
， ，…， ，则由梯形中位线定理
可得 ． 2分
，
． 3分
设要制作 ， ，…， ， 这些踏板需用木板的长度为
， ，…， ，则 ．
， 王大伯买的木板肯定不能少于3块．
4分
过 作 的平行线分别交 ， ， ， 于点 ， ， ， ．
每两级踏板之间的距离相等， ，
． ， ， ，
， ， ， ，
6分
．而 ， ， ，
， ．
王大伯最少买3块这样的木板就行了． 8分
解法三：如果在梯子的下面再做第9级踏板，它与其上
面一级踏板之间的距离等于梯子相邻两级踏板之间的距
离（如图），设第9级踏板的长为 cm，则由梯形中位
线的性质，可得第5级踏板的长 ，
第7级踏板的长 ，由题意，得第8级踏板的长 ，解这个方程，得 ，
2分
由此可求得 cm， ， ， ， ， ．
设要制作 ， ，…， ， 这些踏板需截取的木板长度分别为 ， ，…， ，则 ， ， ， ， ， ， ， ． 5分
（下同解法一）
四、实践与探索（本大题共2小题，满分19分）
28．解：（1） 轴． 1分
理由： 中， ， ． 2分
设 交 于点 ，交 轴于点 ， 矩形的对角线互相平分且相等，则 ，
，过点 作 轴于 ，则 ， ， ， ， 轴． 3分
（2）设 在运动过程中与射线 交于点 ，过点 且垂直于射线 的直线交 于点 ，过点 且垂直于射线 的直线交 于点 ，则 ．
， ， ， ， ．
4分
①当 ，即 时， ． 6分
②当 ，即 时，设直线 交 于 ，交 于 ，则 ， ， ，
． 8分
③当 ，即 时， ，
………………………………………………10分
29．解：（1）如图（共有2种不同的分割法，每种1分，共2分）
（2）设 ， ，过点 的直线交边 于 ．在 中，
①若 是顶角，如图1，则 ，
， ．
此时只能有 ，即 ，
，即 ． 4分
②若 是底角，则有两种情况．
第一种情况：如图2，当 时，则 ，
中， ， ．
1 ．由 ，得 ，此时有 ，即 ． 5分
2 ．由 ，得 ，此时 ，即 ．
6分
3 ．由 ，得 ，此时 ，即 ， 为小于 的任意锐角． 7分
第二种情况，如图3，当 时， ， ，此时只能有 ，
从而 ，这与题设 是最小角矛盾．
当 是底角时， 不成立． 9分