f(x-1/x)=lnx，求f（x）的导数

Question

如题所述

Answer 1

f(x-1/x)=lnx，求f（x）的导数
解：设x-(1/x)=u，则x²-1=ux，x²-ux-1=0，x=[u+√(u²+4)]/2；
【因为x>0，故根号前只取正号】
故f(u)=ln{[u+√(u²+4)]/2}；
把u换成x得f(x)=ln{[x+√(x²+4)]/2}=ln[x+√(x²+4)]-ln2；
∴f '(x)=[1+x/√(x²+4)]/[x+√(x²+4)]=[x+√(x²+4)]/[x²+4+x√(x²+4)].追问

答案是1/√（x²+4 我不知道怎么验证 我是在做题 谢谢

追答

胡扯！这个答案肯定是错的！

追问

真的 你再算算 我一点头绪都没有

追答

取消”胡扯！这个答案肯定是错的！“这句话。

这是把我上面求出的结果先分母有理化，再把分子通分，然后把√(x²+4)写到分母上的结果，
是对的。
f '(x)=[1+x/√(x²+4)]/[x+√(x²+4)]【分母有理化】
=[1+x/√(x²+4)][√(x²+4)-x]/4
=[√(x²+4)-x²]/√(x²+4)]/4【分子通分，再把√(x²+4)写到分母上】
=4/[4√(x²+4)]【把4约去】
=1/√(x²+4)]

还可以这样检验：若dy/dx=1/√(x²+4)，那么y=∫dx/√(x²+4)=(1/2)∫dx/√[(x/2)²+1]
令x/2=tanu，则x=2tanu，dx=2sec²udu，代入原式得：
y=∫sec²udu/√(1+tan²u)=∫secudu=ln(secu+tanu)+C=ln[(1/2)√(x²+4)+x/2]=ln[x+√(x²+4)]-ln2
可见正确。

追问

可以在问你个问题么

追答

可以的！

追问

y=x√x²+a²+a²ln(x+√x²+a²ï¼‰

追答

已知y=x√(x²+a²)+a²ln[x+√(x²+a²)]，求y'.【你要学会使用括号！】

解：y'=√(x²+a²)+x²/√(x²+a²)+a²[1+x/√(x²+a²)]/[x+√(x²+a²)]
=[(2x²+a²)/√(x²+a²)]+[1+x/√(x²+a²)][-x+√(x²+a²)]
=[(2x²+a²)/√(x²+a²)]+[√(x²+a²)-x²/√(x²+a²)]
=[(2x²+a²)/√(x²+a²)]+[a²/√(x²+a²)]
=2(x²+a²)/√(x²+a²)]
=2√(x²+a²)

追问

把u换成x得f(x)=ln{[x+√(x²+4)]/2}=ln[x+√(x²+4)]-ln2；
∴f '(x)=[1+x/√(x²+4)]/[x+√(x²+4)]=[x+√(x²+4)]/[x²+4+x√(x²+4)
第一行是怎么变成第二行的 麻烦解释一下行么 谢谢 麻烦你了 我多给财富值 谢谢

追答

公式：(lnu)'=u'/u，在这里，u=x+√(x²+4)；[√(x²+4)]'=2x/[2√(x²+4)]=x/√(x²+4).
∴f '(x)=[x+√(x²+4)]'/[x+√(x²+4)]=[1+x/√(x²+4)]/[x+√(x²+4)]【后面的等号取消，直接分母有理化】
就得上面的结果。