第1个回答 2013-11-16
x^12+x^9+x^6+x^3+1在有理数范围是不能因式分解的，所以这题宜用求根的方法解。
解：设方程 x^12+x^9+x^6+x^3+1=0 (1),在复数域的12个根分别为：w0,w1,w2,...,w11, 则，x^12+x^9+x^6+x^3+1可以因式分解为：(x-w0)(x-w1)(x-w2)...(x-w11) (*), 由等比数列和可知，(1)两边同乘以x^3-1,得：x^15-1=0, => x^15=1 (2), 方程(2)在复数域有15个根：u0,u1,u2,...u14，其中只有一个实根u0=1,其余14个是虚根。15个根在复平面中的位置如图所示，这15个根的模均为1，辐角主值分别为：0,2π/15,4π/15,6π/15,...,28π/15.除去x^3-1=0的三个根u0,u5,u10,其余12个根正好是方程(1)的12个根。由于是在实数范围内因式分解，系数都应该是实数，所以将12个根中，每两个共轭根为一组，因式分解式(*)中含有共轭根的两个因式相乘，由于两个共轭虚数的和与积都是实数，则两因式相乘后系数不再含有虚数。uj=cosθj+i*sinθj的共轭根为u'j=cosθj-i*sinθj, uj+u'j=2cosθj,uj*u'j=(cosθj)^2+(sinθj)^2=1, 则(x-uj)(x-u'j)=x^2-2cosθj+1.
综上所述，x^12+x^9+x^6+x^3+1因式分解为：
(x^2-a1x+1)(x^2-a2x+1)(x^2-a3x+1)(x^2-a4x+1)(x^2-a5x+1)(x^2-a6x+1)
其中: a1=2cos24°,a2=2cos48°,a3=2cos72°,a4=2cos96°,a5=2cos144°,a6=2cos168°.