当群的元素与线性空间的向量结合时，我们踏入了群空间的世界。有限群元素构成的向量组，其线性独立性由反证法保障，每个群元的差异不干扰它们的线性关系，从而形成一个极大线性无关向量组，这就是群空间的诞生。它的维度，即为群的基数，体现了群结构的内在维度。
群空间不仅是线性组合的舞台，更是一种特殊的线性代数结构。群元的线性组合通过加法和数乘规则，定义了群代数，其内部的乘法满足结合律，展示了群的运算特性。群函数作为群元到数的映射，构建了群函数空间，这个空间同样遵循线性空间的法则，是群结构与数域相互作用的桥梁。
群函数与群空间向量之间的关系犹如镜像般清晰。每一个群元都对应一个特定的群函数，它们之间建立起了一一对应的纽带，显示了群元素的深刻影响。
在群函数空间，我们定义了新的运算规则。群元的加法、数乘和函数乘法，共同塑造了空间的结构。基础函数由群元映射生成，它们构成了一个内积空间，且满足正交关系，展示了群结构的几何美感。
群元素驱动的线性变换，犹如一个动态的变形群。左正则表示，即群元素的自映射，忠实且一一对应，揭示了群内部操作的规律。右正则表示则从另一角度揭示变换，两者合称正则表示，其表示空间的维度是群阶的大小。
群空间的向量通过群元基矢展开，左正则与右正则变换揭示了不同视角下的群行为。例如，对于二阶循环群，它的群元自然地构成了一组线性无关的基，其正则表示验证了群空间的性质：