函数是周期函数

Question

如题所述

Answer 1

判断一个函数是否为周期函数，首先得了解周期函数的定义：如果存在一个非零实数 \(T\)，对于函数 \(f(x)\) 中的所有 \(x\)，都有 \(f(x+T) = f(x)\)，那么这个函数就是周期函数，而这个非零实数 \(T\) 被称为该函数的周期。
说得通俗一点，周期函数就像是一种循环模式，比如季节的变化、日出日落等自然现象，它们按照一定的时间间隔重复出现。在数学里，如果你有一个函数，无论你的 \(x\) 在哪里，只要你向右（或向左）移动一个固定的距离后，函数的值都会重复之前的模式，那么这个函数就是周期的。
最经典的例子就是三角函数，比如正弦函数 \(sin(x)\) 和余弦函数 \(cos(x)\)，它们都是周期函数，周期为 \(2\pi\)。这意味着，当你把 \(x\) 的值增加 \(2\pi\) 时，\(sin(x)\) 和 \(cos(x)\) 的值会重复。
判断一个函数是否为周期函数，关键是看这个重复模式是否存在。不是所有的函数都有周期，比如线性函数 \(f(x) = x + 1\) 就不是周期函数，因为它的值随着 \(x\) 的增加而单调增加，没有重复的模式。

Answer 2

是周期函数。
而且与原函数的周期相等。周期函数是指f(x)=f(x+t)，对定义域内的x，t是其周期，则f'(x)=lim((f(x+Δx)-f(x))/Δx)=lim((f(x+t+Δx)-f(x+t))/Δx)=f'(x+t)，所以f'(x)也是以t为周期的周期函数。
对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。事实上，任何一个常数kT（k∈Z，且k≠0）都是它的周期。并且周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。