n(n-1)…321的逆序数

Question

如题所述

Answer 1

n（n-1）…321的逆序数是n（n-1）/2。

第一个数n的逆序数是n-1，第二数n-1的逆序数是n-2，第三个数n-2的逆序数为n-3......3的逆序数为2，2的逆序数为1，这些逆序数相加得：（n-1）+（n-2）+（n-3）+...+2+1=n（n-1）/2。

在n个数码1，2，…，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成反序，亦称逆序，这个排列的所有反序的总和，称为这个排列的反序数，记为τ（j1 j2…jn）或π（j1j2…jn）。

例如，在四个数码的排列3142中，3与1，3与2以及4与2都构成反序，因此τ（3142）=3。反序数为奇数的排列称为奇排列，反序数为偶数的排列称为偶排列。

在n（n>1）个数码的全体n。个排列中，奇、偶排列的个数相等，即都为n/2个，这决定了在n阶行列式的展开式的n。项中正负项各半。

性质

在一个排列中，交换其中某两个数的位置，而其余各数的位置不动，就得到另一个同阶的新排列。对排列施行的这样一个交换称为一个对换，将相邻两个数对换，叫做相邻对换。

定理1对换改变排列的奇偶性。即经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列。任意一个n阶排列可经过一系列对换变成标准排列，并且所作对换次数的奇偶性与这个排列的奇偶性相同。