不等式(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)>=k(a+b+c)^2恒成立,求k的最大值

甲、乙讨论数学题：对任意实数a、b、c，不等式(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)>=k(a+b+c)^2恒成立,求实数k的最大值。
甲说先看成关于a的二次函数，再对bc讨论
乙说将(a+b+c)^2除到左边，然后求分式最小值

参考以上两种思路求k
要详细过程
上海的,应该不用高数

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第1个回答 2009-01-19

乙的思路正确！
由轮换对称性可知，分式当a=b=c时取得最小值，
化为求（a^2+1)^3/(3a）^2=a^4/9+a^2/3+1/3+1/(9a^2)的最小值，
求导求驻点，解方程式2a^6+3a^4-1=0,(令a^2=x,可因式分解，得x=1/2）,
从而解得当a=b=c=1/√2或-1/√2时有最小值3/2，从而k<=3/2.

第2个回答 2009-01-21

思路正确！
由轮换对称性

第3个回答 2009-01-22

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