如何判断一个数是有理数或无理数？

Question

考试时给出了一些数。我看起来都晕了。杂判断？

Answer 1

按照定义，任何不能表示为两个整数之比的实数都是无理数。
考试时可以这样判断：
1.首先像圆周率π=3.1415926535897932384626433...、自然对数的底e=2.7182818283...之类的是无理数，死记；
2.剩下的数化简：分母有根号的分母有理化，再把分子化为最简根式。如果还有根号的，就是无理数（这里用到了一个定理：整数次根号下是整数的最简根式的值是无理数）。
如果根号下是小数，那么先化为分数。然后把根号下的分数分别开根号，再根据上述方法判别。
LS的说法是片面的，二次根式时才考虑是否根号下是完全平方数。如果是立方根则要判断是否是完全立方数……反而麻烦。
另外还有超越数（例如无穷个根号嵌套的情况）也是无理数，但除了1.中的以外，考试中不会考到。
----
几点补充说明：
1.任何一个有理数能表达为循环或不循环的小数或整数。至于循环与否，取决于具体的数和进制。如果分母分解出的质因数都能整除进制数则是不循环小数或是整数。至于是否是循环小数很简单，能找到循环节的就是。
2.有理数和无理数的叫法确实源于历史原因。但“有比例数”和“无比例数”的叫法容易引起混乱，用得不多。一般分别称为可公度数和不可公度数。
----
最后说明：http://zhidao.baidu.com/question/4972548.html中的程序依赖于数列的性质。只适合于判断完全平方数，不适合判断高次方数。一般来说，实数根式化简的算法是需要部分地分解质因数的，而且这样的方法对于非超越实数根式一定能够得到最简分式。

参考资料：原创

Answer 2

这要看根号下的那个数是不是完全平方数，即它能写成另一个数的平方。如果是一个完全平方数，开根号后就是有理数；反之，是无理数。

怎样判断一个数是不是完全平方数？参考下面的文字：

完全平方数是这样一种数：它可以写成一个正整数的平方。例如，36是6×6，49是7×7。
从1开始的n个奇数的和是一个完全平方数，n^2―即1＋3＋5＋7＋…＋（2n-1）＝n^2，例如1＋3＋5＋7＋9＝25＝5^2。每一个完全平方数的末位数是0，1，4，5，6，或9
每一个完全平方数要末能被3整除，要末减去1能被3整除。每一个完全平方数要末能被4整除，要末减去1能被4整除。

每一个完全平方数要末能被5整除，要末加上1或减去1能被5整除。

补充说明：
如果根号下是一个分数，得分别对分子、分母进行判别。如果根号下是一个小数，先化成分数再用上述方法进行识别。
参考资料：个人见解 加 http://zhidao.baidu.com/question/4972548.html

Answer 3

其实有理数和无理数是错误的叫法，由于历史原因，也就这么叫了，应该叫有比例数和无比例数，即，一个数能否写成两个整数比的形式，能就是有比例数(有理数)，不能就是无比例数(无理数)本回答被提问者采纳

Answer 4

有理数包括整数，有限小数和无限循环小数，都是可以写成分数形式的数。无理数救是无限不循环小数。
一般情况下会给你常见的分数，例如0.3333333……。这个数是有理数，因为它等于1/3.无限循环小数的特征是：在最后一位的头上（就是数字的正上方）加一个黑点表示循环，或者最后两位相同，在数的末尾加省略号表示循环。
但是像π=3.141592653……就是无限不循环小数，是无理数。
记住，只要是不加省略号或不加黑点的小数，都是有理数。