常微分和偏微分的区别是什么

Question

如题所述

Answer 1

常微分方程，描述的是一个量随一个自变量变化的规律，如位置随时间的变化规律。
偏微分方程组，描述的是一个量随着2个或更多自变量变化的规律。比如温度随着时间位置的变化。这样就需要4个（分别是时间，和三个空间维度）偏微分方程来描述。
偏微分方程一般比常微分方程复杂，不仅在于它自变量多，而且各个自变量之间会有耦合，比如温度随时间的变化和位置有关，同时温度随位置的变化又和时间有关，所以很复杂。一般用数值法求解。比如天气预报，就是用计算机求解偏微分方程得到的。

Answer 2

解答：
1、dy/dx
是函数在x处的变化率；
2、(dy/dx)dx
是函数在x处的微分，也就是“变化率dy/dx”乘以“自变量的无穷小变化量dx”，
dx是对x的微分，也就是x的无穷小的增量；
(dy/dx)dx
=
dy
就是对y的微分了，也就是y的无穷小增量；
(dy/dx)dx
的整体意思就是，在x处，由于x的无穷小的增量所产生的y的无穷小增量。
这些就是通常所说的微分的概念，也就是常微分的概念。
3、在多元函数中，因为自变量至少有两个，每一个自变量的变化，都会引起函数的变化。
以三元函数
u=f(x,y,z)
为例，
∂u/∂x
表示的是由于x的单独变化而引起的函数u的变化率，或者说在x方向上的变化率；
∂u/∂y
表示的是由于y的单独变化而引起的函数u的变化率，或者说在y方向上的变化率；
∂u/∂z
表示的是由于z的单独变化而引起的函数u的变化率，或者说在z方向上的变化率。
这里的符号∂，在意义上，完全等同于d，∂x=dx，∂y=dy，∂z=dz，∂u=du。
由于是多元函数，引起函数u变化的因素不止一个，为了表示区别，不用d，而用∂。
4、(∂u/∂x)dx
表示的是由于x的单独变化dx，所引起的函数u的变化量，也就是u对x的偏微分；
(∂u/∂y)dy
表示的是由于y的单独变化dy，所引起的函数u的变化量，也就是u对y的偏微分；
(∂u/∂z)dz
表示的是由于y的单独变化dz，所引起的函数u的变化量，也就是u对z的偏微分。
5、全微分的概念（Total
Differentiation）：
如果所有变量的变化都考虑进去，所有变量变化所引起的整个函数的变化，则是全微分：
du
=
(∂u/∂x)dx
+
(∂u/∂y)dy
+
(∂u/∂z)dz，其中的三个部分是三个偏微分。
欢迎追问。