如何理解无穷小等价？

Question

如题所述

Answer 1

无穷小等价是微积分中一个重要的概念，用于描述两个无穷小的变化趋势相同，即在某一点附近具有相同的极限值。通俗地讲，无穷小等价就是指两个无穷小在某一特定条件下可以近似看作相等。

需要注意的是，无穷小等价是一种近似关系，只适用于某些特定的条件和情况。在一般情况下，两个无穷小并不一定等价，因此不能直接套用无穷小等价的概念。

Answer 2

具体回答如下：

cos(sinx) 

= cos[x -(1/6)x^3 +o(x^4)]

= 1 - (1/2)[x -(1/6)x^3]^2 + (1/24)[x -(1/6)x^3]^4 +o(x^4)

= 1 - (1/2)[x^2  -(1/3)x^4 +o(x^4)]+ (1/24)[x^4+o(x^4)] +o(x^4)

=1- (1/2)x^2 + ( 1/6 +1/24) x^4 +o(x^4)

=1- (1/2)x^2 + (5/24) x^4 +o(x^4)

等价无穷小的意义：

等价无穷小是无穷小之间的一种关系，指的是：在同一自变量的趋向过程中，若两个无穷小之比的极限为1，则称这两个无穷小是等价的。无穷小等价关系刻画的是两个无穷小趋向于零的速度是相等的。

被代换的量，在取极限的时候极限值为0；被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。