线性代数 17题证明。

Question

如题所述

Answer 1

（1）
必要性：
A^2=A
即
(E-aa^T)^2=E-aa^T
也即
E-2aa^T+a(a^Ta)a^T = E-aa^T
则
E-2aa^T+(a^Ta)aa^T = E-aa^T
则
(a^Ta - 1)aa^T=0
由于a非零向量，则秩R(aa^T)=1>0，aa^T非零矩阵
则a^Ta - 1=0
因此a^Ta=1

充分性：
a^Ta=1，则
E-2aa^T+(a^Ta)aa^T = E-aa^T
即
(E-aa^T)^2=E-aa^T
则A^2=A

（2）
a^Ta=1，则由（1）得知
A^2=A
即A(E-A)=0
也即
A(aa^T)=0【1式】

由于a非零向量，则秩R(aa^T)=1>0，aa^T非零矩阵
假设A可逆，则根据【1式】，等式两边同时左乘A^-1,得知
aa^T=0，得出矛盾！

因此A不可逆