变上限积分求导

Question

∫（下限0，上限X）f(x-t）dt的导数是什么 要详细过程

Answer 1

F(x) = ∫(a,x) xf(t) dt
F(x) = x∫(a,x) f(t) dt
F'(x) = ∫(a,x) f(t) dt + x * [x' * f(x) - a' * f(a)]
= (1/x)F(x) + x * [1 * f(x) - 0 * f(a)],下限a的导数是0,所以整体都会变为0
= (1/x)F(x) + xf(x)

拓展资料：

变上限积分，是指变上限积分的求导及拓展的微积分基本定理之一。若(a,b)间是一个函数g(x)时，积分形式是∫ag(x)f(t)dt =∫ f(g(x))g’(x)dx。

变上限积分 是微积分基本定理之一，通过它可以得到“牛顿——莱布尼茨”定理，它是连接不定积分和定积分的桥梁，通过它把求定积分转化为求原函数，这样就使数学家从求定积分的和式极限中解放出来了，从而可以通过原函数来得到积分的值！

定理：连续函数f(x)在[a,b]有界，x属于(a,b)，取βX足够小，使x+βX属于(a,b)，则存在函数F(x)=∫(0,x)f(t)dt, 使F(x)的导数为f(x);

参考链接：百度百科-变上限积分

Answer 2

Answer 3

Answer 4

被积函数里面既有T又有X的，这样的话要先做积分变换，设u=X-t，那么积分下限变为-t,积分上限变为0，被积函数为F（u），再做积分就可以了

Answer 5

∫f(x-t）dt
=∫f(x-t）d(t-x)
=-F(x-t)+C

∫（下限0，上限X）f(x-t）dt
=-F(x-x)-(-F(x-0))
=F(x)
F(x)'=f(x)

即∫（下限0，上限X）f(x-t）dt的导数是f(x)