什么是正定二次型？

Question

如题所述

Answer 1

正定二次型是线性代数中的一个概念，它是指具有以下性质的二次型：对于任意非零向量x，二次型f(x)的值为正数。

具体来说，一个二次型f(x)是对称矩阵A与向量x的乘积，即f(x) = xTAx，其中A是一个n×n的对称矩阵。如果对于任意非零向量x，都有f(x) > 0，则称二次型f(x)是正定的。

正定二次型的性质有很多，以下是其中的一些：

正定二次型的矩阵A一定是可逆的。因为如果矩阵A的特征值中有负数或零，那么存在一个非零向量x，使得Ax = λx，其中λ是特征值，从而f(x) = xTAx = λxAx = λ^2 x^Tx，而λ为负数或零，从而f(x)为负数或零，与正定二次型的定义矛盾。

正定二次型的惯性指数为n。因为如果矩阵A是正定二次型的矩阵，那么存在可逆矩阵P，使得PAP^(-1) = I，其中I是单位矩阵，从而矩阵A的特征值都是正数，从而惯性指数为n。

总之，正定二次型是一个重要的线性代数概念，它具有很多良好的性质，可以帮助我们解决实际问题，如线性变换、主成分分析等。