100人参加考试,共5道题,第1、2、3、4、5题分别有80、72、84、88、56人做对,如果至少做对3题算及格,问 至少有多少人及格?
答案是64。
第1、2、3、4、5题分别有80、72、84、88、56人做对。
第1、2、3、4、5题分别有20、28、16、12、44人做错。
至少做对3题算及格,→做错3题及以上算不及格。
(20+28+16+12+44)÷3=40,40<44,40-(44-40)=36。
至多有36人不及格,至少有64人及格。
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人们还是采取这样的方式,把一个组合问题还原成一个代数或分析问题(对应和估计),就像面对几何一样。于是,许多极端复杂的组合细节就可忽略。
复杂性是人类而不是个人面临的困难(比如癌症、天气预报等,都是复杂性在困扰人类),但是奥林匹克数学命题考察的是个人能力,所以命题者尽可以避开组合复杂性。也就是说,组合问题必可用整体对应、代数还原或局部处理这几类方法解决。
如果你在做题时遇到非常棘手的困难,毫无思路,那必定是陷入了组合细节的复杂性中,而没有想到或找到前几种方法。