y'（1/x）=cosx在x=0处不可导，为什么？

Question

如题所述

Answer 1

方法一：

0≤｜sinx｜≤｜x｜，所以lim（x→0）｜sinx｜＝0，所以y＝｜sinx｜在x＝0处连续

lim（x→0＋）［｜sinx｜－0］／x＝lim（x→0＋）sinx／x＝1

lim（x→0－）［｜sinx｜－0］／x＝lim（x→0－）－sinx／x＝－1

左右导数不相等，所以y＝｜sinx｜在x＝0处不可导

方法二：

一个函数在一点可导与否，必须满足，左导数等于右与存在且相等，也就是存在且相等两个条件．

y＝｜sinx｜

x→0－，y＝－sinx，y＇＝－cosx＝－1

x→0＋，y＝sinx，y＇＝cosx＝1

可见y＝｜sinx｜在x＝0处，左导数与右导数存在，但不相等，因此不可导。

扩展资料

举例：

1、sinx－cosx的绝对值在0到派上的定积分，2cosx的导数：

－cosx－sinx的导数是sinx－cosx，所以定积分为－cosx－sinx，当x＝π的值减去x＝0的值为－2．2cosx的导数为－2sinx。

2、定积分绝对值sinx上限2π下限0：

原式＝∫（0，π）sinxdx＋∫（π，2π）（－sinx）dx

＝－cosx（0，π）＋cos（π，2π）

＝－（－1－1）＋（1－（－1））

＝4

Answer 2

函数 y = f(x) 在点 x=a 处可导意味着存在一个有限值，即 f'(a)，使得当 x 趋近于 a 时，f(x) 的变化率趋近于 f'(a)。然而，在 x = 0 处，函数 y = cos(x)/x 不满足这个条件。
当我们使用 L'Hopital's rule 来计算此函数在 x = 0 处的导数时，我们会得到无穷大除以无穷大的形式：
less
lim (cos(x) / x)' when x -> 0
= lim (-sin(x) / x^2) when x -> 0
= lim (-1/x * sin(x)) when x -> 0
= -infinity / infinity
由于结果为无穷大除以无穷大，因此我们无法确定函数在 x = 0 处的导数是否存在，也就是说，该函数在 x = 0 处不可导。
另外，如果我们将 x 的值从负方向接近 0，将会发现函数 y = cos(x)/x 的图像趋向于 -1；而从正方向接近 0，则会发现函数的图像趋向于 +1。这种不连续的现象也是函数在 x = 0 处不可导的原因之一。