欢迎深入探索贝叶斯公式的世界，让我们一步步解码后验分布和共轭分布的数学魅力。
1. 基本原理
贝叶斯方法的核心公式是将先验知识与观测数据融合，计算出后验分布。首先，理解基本概念:
先验分布: 研究者面对未知参数，根据理论或经验猜测的概率分布，如伯努利的二项分布，正态分布的参数。
似然函数: 观测数据出现的条件概率，由具体观测变量的分布决定，如线性回归中的正态分布。
全概率: 总体概率的计算，将所有可能情况的条件概率相加，离散与连续变量对应不同的公式。
后验分布: 通过贝叶斯公式，结合先验分布和似然函数得出的参数更新后的概率分布。
2. 计算案例
实战演示如何计算：
离散变量: 如产品不合格率案例，先验分布为二项分布，通过观察抽取数据的分布计算后验。
连续变量: 如正态分布的参数，先验分布如何影响后验分布，如逆伽马分布的共轭性。
3. 共轭分布的魔力
共轭分布的精髓在于，先验分布与后验分布同属于同一分布族，如贝塔分布与正态分布的参数。选择共轭先验，计算更简洁，如正态分布参数的先验选择。
3.1 贝塔分布的共轭性
以贝塔分布为例，其后验分布与似然函数的参数有关，计算过程展现了共轭的便利性。
3.2 正态分布参数的共轭先验
正态分布参数的共轭选择，如逆伽马分布，是贝叶斯线性回归中的关键，它的特点和形式将在后续深入探讨。