如何解微分方程？

Question

如题所述

Answer 1

解微分方程的方法取决于方程的类型和性质。以下是一些常见的解微分方程的方法：
1. **可分离变量法：** 将微分方程中的变量分离到一侧，然后进行积分。这是最基本的解微分方程的方法。
2. **线性微分方程：** 如果微分方程是线性的，可以使用积分因子法或直接应用线性代数的方法，如特征值和特征向量。
3. **常系数线性微分方程：** 特别是二阶齐次常系数线性微分方程，可以使用特征方程的解法，得到方程的通解。
4. **变量分离法：** 对于一些特定形式的微分方程，通过适当的变换将变量分离，从而使得方程易于求解。
5. **积分因子法：** 对于一阶线性微分方程，通过引入适当的积分因子，将其变换为恰当微分方程，然后进行积分求解。
6. **齐次微分方程：** 对于一些具有齐次结构的微分方程，可以通过变量替换来简化求解。
7. **特解与通解：** 对于常系数线性微分方程，可以通过寻找特解和通解的方式来得到方程的完整解。
8. **数值方法：** 当微分方程难以解析求解时，可以使用数值方法，如欧拉方法或龙格-库塔方法进行近似求解。
9. **变分法：** 对于一些特殊类型的微分方程，如变分问题，可以使用变分法进行求解。
每个微分方程都有其独特的性质和解法，选择合适的方法通常需要根据微分方程的形式和条件来确定。深入的解微分方程需要更详细的数学知识和技巧。

Answer 2

∫ x^(1/2)/[ 1+x^(4/3)] dx
u^5 = u^2.(1+u^3 ) -u^2
let
u=x^(1/4)
du = (1/4)x^(-3/4) dx
dx = 4u^3 du
∫ x^(1/2)/[ 1+x^(4/3)] dx
=∫ [u^2/(1+u^3)] [ 4u^3 du]
=4∫ [u^5/(1+u^3)] du
=4∫ [u^2 - u^2/(1+u^3)] du
= 4 [ (1/3)u^3 -(1/3)ln|1+u^3| ] + C
= 4 [ (1/3)x^(3/4) -(1/3)ln|1+x^(3/4)| ] + C