用格林公式。
∫ Pdx+Qdy,即P=-y/(4x^2+y^2),Q=x/(4x^2+y^2)。
有σP/σy=(-4x^2-y^2+2y^2)/(4x^2+y^2)^2=(y^2-4x^2)/(4x^2+y^2)^2。
σQ/σx=(4x^2+y^2-8x^2)/(4x^2+y^2)=(y^2-4x^2)/(4x^2+y^2)^2。
得σP/σy=σQ/σx,即积分结果与路径无关。
相关概念
设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围的部分区域都属于D,则D称为平面单连通区域。直观地说,单连通区域是没有空间的区域,否则称为复连通区域。
当xOy平面上的曲线起点与终点重合时,则称曲线为闭曲线。设平面的闭曲线L围成平面区域D,并规定当一个人沿闭曲线L环行时,区域D总是位于此人的左侧,称此人行走方向为曲线L关于区域D的正方向,反之为负方向。