如何用极坐标求曲线积分？

如题所述

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推荐答案 2023-12-03

根据图示先画出平面坐标系下的区域D,极坐标表示为 D区域下的 ∫(0,1)dx∫(x²,x) dy
其中积分后的括号分别表示积分下限和积分上限.按照积分的坐标转换法则可得到
首先将区域边界转化为极坐标形式：y=x² 对应 rsinθ=r²cos²θ 化简为 r=sinθ/cos²θ
∫(0,pi/4)dθ∫(sinθ/cos²θ,1) rdr

令x = rcosθ，y = rsinθ

x = 0，x = 1，y = 0，y = x²

交点是(0，0)，(1，1)

θ = 0 到 θ = arctan(1/1) = π/4

rsinθ = r²cos²θ

r = sinθ/cos²θ = secθtanθ

所以

∫(0~1)∫(0~x²) ƒ(x，y) dydx

= ∫(0~π/4)∫(0~secθtanθ) ƒ(rcosθ，rsinθ) rdrdθ

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