如何求解非齐次微分方程？

Question

如题所述

Answer 1

您提供的是一个二阶线性非齐次微分方程。方程为:
y'' + y' = 3x² + 1
为了解这个方程，我们首先找到相关的齐次方程的通解，然后使用特定解的方法找到非齐次方程的一个特解，最后将它们组合以获得原方程的通解。
步骤 1: 解齐次方程
首先，我们解相关的齐次方程:
y'' + y' = 0
这是一个二阶线性常系数齐次微分方程。我们解这个方程的特征方程：
r² + r = 0
r(r + 1) = 0
因此，r = 0 或 r = -1，这是两个实根，所以齐次方程的通解是：
y_h(x) = C₁ + C₂e^(-x)
这里的 C₁ 和 C₂ 是常数。
步骤 2: 找到一个特解
接下来，我们需要找到非齐次方程 y'' + y' = 3x² + 1 的一个特解。为此，我们可以使用未定系数法。因为右侧是一个二次多项式，我们可以假设特解有如下形式：
y_p(x) = Ax² + Bx + C
其中 A, B, 和 C 是我们需要确定的系数。
我们先求 y_p(x) 的一阶和二阶导数：
y_p'(x) = 2Ax + B
y_p''(x) = 2A
将 y_p(x)，y_p'(x) 和 y_p''(x) 代入原方程，我们得到：
2A + 2Ax + B = 3x² + 1
通过比较两边的系数，我们可以解出 A, B, 和 C 的值。我们看到左侧缺少一个 x² 的项，这意味着我们需要修正我们特解的形式（因为原方程的非齐次部分包含一个 x² 项）。所以，我们假设特解有如下形式：
y_p(x) = Ax² + Bx + C
然后，我们再次求出一阶和二阶导数并代入原方程，然后解出 A, B, 和 C。
步骤 3: 写出通解
最后，非齐次方程的通解是齐次方程的通解和一个特解的和：
y(x) = y_h(x) + y_p(x)
将步骤1和步骤2中找到的解代入上式即得原方程的通解。