利用单调有界求下列数列极限 A(n+1)=2n/(3n+1)An n=1,2,3... A1=1

Question

如题所述

Answer 1

证明：因为2n<(3n+1),所以2n/(3n+1)<1
由A(n+1)=2n/(3n+1)An得知A(n+1)<An
所以数列{An}是单调递减数列
由A(n+1)<An得An<A(n-1)<....<a1=1
即An<1
所以数列{An}有下界
于是数列{An}是单调递减数列且有下界，即数列{An}有极限
设limA(n+1)=limAn=B
于是对A(n+1)=2n/(3n+1)An两边取极限得
limA(n+1)=lim2n/(3n+1)An
即limA(n+1)=lim2/(3+1/n)An
即B=2/3B
解得B=0
即limAn=0追问

有下界不是An>某个常数吗？

追答

是的
若An>M称M是下界
若An<M称M是上界

追问

那An<1就是说An有上界1咋能说
所以数列{An}有下界

追答

那An0

追问

就说咋一细看不合尺