多元函数说是可导也不一定连续，求个栗子啊，太难理解了？

Question

我得辅导书上说，多元函数，哪怕可导，也不一定能连续或者可微，求个栗子呀，就是什么函数能可以导但不连续，最好有图。

Answer 1

可导指各偏导数存在。

可导但是不可微的例子很多，我随便搜到的一个就是：

曲面恰好与两个坐标轴重合。因此原点处的两个偏导数都是0 。

但是不可微，比如在对角线上的取值构成了一个折线（黑线部分）。

可导也可以不连续，和上面类似，不过我没搜到现成的图。比如f(x,0)=f(0,y)=0但是在其他位置f(x,y)=1，这样在原点处存在两个偏导数为0，但是不连续。