cscx的原函数是：ln|tan(x/2)|+C或者ln|cscx-cotx|+C。
∫cscxdx=ln|tan(x/2)|+C，也可写作：∫cscxdx=ln|cscx-cotx|+C。
∫cscx dx
=∫1/sinx dx
=∫1/[2sin(x/2)cos(x/2)] dx
=∫1/[sin(x/2)cos(x/2)] d(x/2)
=∫1/tan(x/2)*sec²(x/2) d(x/2)
=∫1/tan(x/2) d[tan(x/2)]
=ln|tan(x/2)|+C
ln|tan(x/2)|+C
=ln|sin(x/2)/cos(x/2)|+C
=ln|2sin(x/2)cos(x/2)/[2cos²(x/2)]|+C
=ln|sinx/(1+cosx)|+C
=ln|sinx(1-cosx)/sin²x|+C
=ln|(1-cosx)/sinx|+C
=ln|cscx-cotx|+C
扩展资料：
分部积分：
(uv)'=u'v+uv'
得：u'v=(uv)'-uv'
两边积分得：∫ u'v dx=∫ (uv)' dx - ∫ uv' dx
即：∫ u'v dx = uv - ∫ uv' d,这就是分部积分公式
也可简写为：∫ v du = uv - ∫ u dv
常用积分公式：
1）∫0dx=c
2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c
3）∫1/xdx=ln|x|+c
4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c
5）∫e^xdx=e^x+c
6）∫sinxdx=-cosx+c
7）∫cosxdx=sinx+c
8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c
9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c
10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c
11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c
∫cscxdx
=∫cscx (cscx-cotx) / (cscx-cotx) dx
=∫1 / (cscx-cotx) d(cscx-cotx)
=ln｜cscx-cotx｜+C
以上方法可能有点已经被剧透了以后然后回推的嫌疑，所以给予第二种推法：
∫cscxdx
= ∫ 1/sinx dx
= ∫ sinx / (sinx)^2 dx
= ∫ 1 / [1 - (cosx)^2] d(cosx)
= ∫ 1 / [(1 + cosx)·(1 - cosx)] d(cosx)
= 裂项 -1/2 ∫ ( 1/(1 + cosx) + 1/(1 - cosx)) dcosx
= 根据积分可加性分别积分 -1/2 (ln|1 + cosx| - ln|1 - cosx|) + C
= 1/2 ln|(1 - cosx)/(1 + cosx)| + C
= 1/2 ln|(1 - cosx)^2/(1 - cosx)| + C
= ln|(1-cosx)/sinx| + C
= ln|cscx - cotx| + C