交通事故私了一个月后，当事人可以再次报警，请求公安机关交通管理部门处理，是否要负责取决于案件的实际情况。公安机关交通管理部门应当根据当事人的行为对发生道路交通事故所起的作用以及过错的严重程度，确定当事人的责任。
对方的这种行为如果数额较大，情节严重会构成敲诈勒索罪。敲诈勒索罪是指以非法占有为目的，对被害人使用威胁或要挟的方法，强行索要公私财物的行为。敲诈勒索罪是一种重要的侵犯财产罪，其犯罪对象是公私财物。敲诈勒索罪的对象是复合的，包括人和公私财产。从敲诈勒索罪的客观要件入手，敲诈勒索的客体只能是财产所有权，因而其犯罪对象只包括公私财物，而不包括人。本罪侵犯的客体是复杂客体，不仅侵犯公私财物的所有权，还危及他人的人身权利或者其他权益。这是本罪与盗窃罪、诈骗罪不同的显著特点之一。本罪侵犯的对象为公私财物。本罪在客观方面表现为行为人采用威胁、要挟、恫吓等手段，迫使被害人交出财物的行为。敲诈勒索的行为只有数额较大或者多次敲诈勒索时，才构成犯罪。
法律依据：
《道路交通事故处理程序规定》
第十八条，发生道路交通事故后当事人未报警，在事故现场撤除后，当事人又报警请求公安机关交通管理部门处理的，公安机关交通管理部门应当按照本规定第十六条规定的记录内容予以记录，并在三日内作出是否接受案件的决定。
经核查道路交通事故事实存在的，公安机关交通管理部门应当受理，制作受案登记表；经核查无法证明道路交通事故事实存在，或者不属于公安机关交通管理部门管辖的，应当书面告知当事人，并说明理由。
《道路交通事故处理程序规定》
第六十条，公安机关交通管理部门应当根据当事人的行为对发生道路交通事故所起的作用以及过错的严重程度，确定当事人的责任。
（一）因一方当事人的过错导致道路交通事故的，承担全部责任；
（二）因两方或者两方以上当事人的过错发生道路交通事故的，根据其行为对事故发生的作用以及过错的严重程度，分别承担主要责任、同等责任和次要责任；
（三）各方均无导致道路交通事故的过错，属于交通意外事故的，各方均无责任。
一方当事人故意造成道路交通事故的，他方无责任。
《道路交通事故处理程序规定》
第十六条，公安机关及其交通管理部门接到报警的，应当受理，制作受案登记表并记录下列内容：
（一）报警方式、时间，报警人姓名、联系方式，电话报警的，还应当记录报警电话；
（二）发生或者发现道路交通事故的时间、地点；
（三）人员伤亡情况；
（四）车辆类型、车辆号牌号码，是否载有危险物品以及危险物品的种类、是否发生泄漏等；
（五）涉嫌交通肇事逃逸的，还应当询问并记录肇事车辆的车型、颜色、特征及其逃逸方向、逃逸驾驶人的体貌特征等有关情况。
报警人不报姓名的，应当记录在案。报警人不愿意公开姓名的，应当为其保密。
《道路交通事故处理程序规定》
第十七条，接到道路交通事故报警后，需要派员到现场处置,或者接到出警指令的，公安机关交通管理部门应当立即派交通警察赶赴现场。
《道路交通事故处理程序规定》
第二十条，发生可以自行协商处理的财产损失事故，当事人可以通过互联网在线自行协商处理；当事人对事实及成因有争议的，可以通过互联网共同申请公安机关交通管理部门在线确定当事人的责任。当事人报警的，交通警察、警务辅助人员可以指导当事人自行协商处理。当事人要求交通警察到场处理的，应当指派交通警察到现场调查处理。
《道路交通事故处理程序规定》
第二十一条，当事人自行协商达成协议的，制作道路交通事故自行协商协议书，并共同签名。道路交通事故自行协商协议书应当载明事故发生的时间、地点、天气、当事人姓名、驾驶证号或者身份证号、联系方式、机动车种类和号牌号码、保险公司、保险凭证号、事故形态、碰撞部位、当事人的责任等内容。
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