变上限积分的求导公式

Question

问：若F(x)=∫(上限x，下限a)xf(t)dt，则F'(x)=？有个答案是这样的：x不是积分变量，提出F(x)=x∫(上限x，下限a)f(t)dt则F'(x)=(上限x，下限a)f(t)dt+xf(x)我看不懂的是：最后的答案中... 问：若F(x)=∫(上限x，下限a)xf(t)dt，则F'(x)=？ 有个答案是这样的： x不是积分变量，提出 F(x)=x∫(上限x，下限a)f(t)dt 则F'(x)=(上限x，下限a)f(t)dt+xf(x) 我看不懂的是：最后的答案中，怎么没有再减一个af(a)，因为积分那里有上下限啊，那求导的时候，不是也一样要上限的导数减下限的导数吗？？？ 展开

Answer 1

f(x)=∫(a,x)xf(t)dt，此定理是变限积分的最重要的性质，掌握此定理需要注意两点：第一，下限为常数，上限为参变量x（不是含x的其他表达式）；
第二，被积函数f(x)中只含积分变量t，不含参变量x。
积分变限函数是一类重要的函数，它最著名的应用是在牛顿一莱布尼兹公式的证明中．
事实上，积分变限函数是产生新函数的重要工具，尤其是它能表示非初等函数，同时能将积分学问题转化为微分学问题。

Answer 2

F(x)
=
∫(a，x)
xf(t)
dt
F(x)
=
x∫(a，x)
f(t)
dt
F'(x)
=
∫(a，x)
f(t)
dt
+
x
*
[x'
*
f(x)
-
a'
*
f(a)]
=
(1/x)F(x)
+
x
*
[1
*
f(x)
-
0
*
f(a)]，下限a的导数不就是0咯，所以整体都会变为0
=
(1/x)F(x)
+
xf(x)

Answer 3

Answer 4