有极限的函数不一定有界

如题所述

推荐答案 2011-07-14

我们说函数有极限，包括两种情况：一，当自变量区域a时函数有极限；二，当自变量趋于无穷时函数有极限；而函数有界是指在整个定义域内有界；若函数在趋于a时有极限，我们只能说函数在a的某个邻域内有界，在整个定义域内可能无界，举个例子：函数y=1/x，在区间（0，10）内有定义，在x=5处有极限，但在此区间就无界。若函数趋于无穷时有极限，我们只能说存在正数X,当x的绝对值大于X时，函数有界，而不能说在整个定义域内有界；同样举上面这个例子，当自变量趋于无穷时，函数趋于0.极限存在，但在0到无穷这个区间上却无界。

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其他回答

第1个回答 2011-07-10

有极限的函数只是表明它在所论极限的点的附近是有界的, 例如lim{x->x0}f(x)=A表明在x=x0的某个邻域内f(x)是有界的, 但是f(x)在其定义域内未必有界, 例如lim{x->0}e^x=1, 函数e^x在x=0的某个邻域例如(-1,1)内有界：e^x<=e, 但显然它在定义域内无界.本回答被网友采纳

第2个回答 2011-07-12

f（x）=1／x，x→∞时，limf（x）=0，极限存在；
f（x）=1／x，在（0，+∞）上是无界的。（闭区间上的连续函数必定为有界函数。)

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极限存在则一定有界吗?答：。2、有界函数与无穷小乘积仍为无穷小。其中有界函数不需要进行存在，例子见上图。3、极限存在，则一定有界。但有界，极限不一定存在。如：sinx是有界的，但x趋于无穷大时，极限不存在。具体的例子，利用有界函数与无穷小乘积仍为无穷小，关于有界函数不需要有极限的例子(我图中前两行)及说明见上。

函数有极限一定有界吗?答：有极限就一定有界。回忆极限定义，任取ε>0，存在N>0，当n>N时，有|xn-a|<ε 证：设数列{xn}的极限a，则由极限定义，对于ε=1，存在N>0，当n>N时，（N是个有限数）有|xn-a|<1，则 |xn|=|xn-a+a|≤|xn-a|+|a|<1+|a| 取M=max{ |x1|，|x2|，...，|xN|，1+|a| ...

函数有界一定有极限吗?答：当n>N后，所有的 |xn| 均小于1+|a|≤M）因此{xn}有界。2、有界不一定有极限 比如：f(x)=sinx,在R上有界，但是x趋近于无穷是没有极限。极限思想是微积分的基本思想，是数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数（为0得到极大值）以及定积分等等都是借助于极限来定义的。

有界一定有极限吗?答：不一定。有极限就一定有界。有限个有界函数的和、差、积必有界。极限存在只是函数有界的充分条件，而非必要条件，即函数有界但函数极限不一定存在。如果函数在某点连续，那么在这个点附近一定有一个邻域，这个邻域中函数是有界的。如果一个数列的项数n趋向于无穷大时，数列的极限存在，那么就称这个数列收敛...

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