连续函数一定有原函数，想问的是，对应的这个原函数也在处处都连续吗？

Question

比如函数f(x)=sin2x(x<=0),f(x)=ln(2x+1)(x>0)的原函数在x=0处连续吗？为什么？

Answer 1

肯定连续。
假设F(x)是f(x)的一个原函数，只要x在定义域内，必然有F'(x)=f(x);
既然F(x)可导，那么F(x)在定义域内处处连续。
如：
f(x)=sin2x(x<=0),f(x)=ln(2x+1)(x>0)
F(x)=-1/2cos2x+C1(x<=0),F(x)=1/2*(2x+1)ln(2x+1)-x+C2;
因为F'(0)=f(0)=0;F(x)在x=0处连续，
所以F(0-)=F(0+)即C1-1/2=C2，令C1=C,则C2=C-1/2;
所以F(x)=-1/2cos2x+C(x<=0),F(x)=1/2*(2x+1)ln(2x+1)-x-1/2+C

Answer 2

你问题的关键在于你问是否连续处 对原函数是否有意义 f（x）=sin2x的原函数应该是f（x）=cos2x/2导函数小于等于0所以原函数单调递减 定义域kπ<x<π/2+kπ 可以等于0 那么就连续 其实我感觉你的问题问的不在点上 应该说所有导函数都有原函数 有导函数 不一定连续 连续不一定有导关键看原函数在定义域内是否有意义

Answer 3

sin2x的原函数是-1/2cos2x,在x=0处连续，ln(2x+1)的原函数不是初等函数吧
一元初等函数的原函数必可导，可导必连续

Answer 4

不一定，连续意味着在每一点都有左右极限并且相等。这书上有定义的。本回答被提问者采纳