第3个回答 2011-07-25
一、 配方法
配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧,通过配方找到已知和未知的联系,从而化繁为简。何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧,从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方。它主要适用于:已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解,或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a+b) =a +2ab+b ,将这个公式灵活运用,可得到各种基本配方形式,如:
a +b =(a+b) -2ab=(a-b) +2ab;
a +ab+b =(a+b) -ab=(a-b) +3ab=(a+ ) +( b) ;
a +b +c +ab+bc+ca= [(a+b) +(b+c) +(c+a) ]
a +b +c =(a+b+c) -2(ab+bc+ca)=(a+b-c) -2(ab-bc-ca)=…
结合其它数学知识和性质,相应有另外的一些配方形式,如:
1+sin2α=1+2sinαcosα=(sinα+cosα) ;
x + =(x+ ) -2=(x- ) +2 ;…… 等等。
Ⅰ、再现性题组:
1. 在正项等比数列{a }中,a sa +2a sa +a a =25,则 a +a =_______。
2. 方程x +y -4kx-2y+5k=0表示圆的充要条件是_____。
A. <k<1 B. k< 或k>1 C. k∈R D. k= 或k=1
3. 已知sin α+cos α=1,则sinα+cosα的值为______。
A. 1 B. -1 C. 1或-1 D. 0
4. 函数y=log (-2x +5x+3)的单调递增区间是_____。
A. (-∞, ] B. [ ,+∞) C. (- , ] D. [ ,3)
5. 已知方程x +(a-2)x+a-1=0的两根x 、x ,则点P(x ,x )在圆x +y =4上,则实数a=_____。
【简解】 1小题:利用等比数列性质a a =a ,将已知等式左边后配方(a +a ) 易求。答案是:5。
2小题:配方成圆的标准方程形式(x-a) +(y-b) =r ,解r >0即可,选B。
3小题:已知等式经配方成(sin α+cos α) -2sin αcos α=1,求出sinαcosα,然后求出所求式的平方值,再开方求解。选C。
4小题:配方后得到对称轴,结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。
5小题:答案3- 。
Ⅱ、示范性题组:
例1. 已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为_____。
A. 2 B. C. 5 D. 6
【分析】 先转换为数学表达式:设长方体长宽高分别为x,y,z,则 ,而欲求对角线长 ,将其配凑成两已知式的组合形式可得。
【解】设长方体长宽高分别为x,y,z,由已知“长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24”而得: 。
长方体所求对角线长为: = = =5
所以选B。
【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式,观察和分析三个数学式,容易发现使用配方法将三个数学式进行联系,即联系了已知和未知,从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。
例2. 设方程x +kx+2=0的两实根为p、q,若( ) +( ) ≤7成立,求实数k的取值范围。
【解】方程x +kx+2=0的两实根为p、q,由韦达定理得:p+q=-k,pq=2 ,
( ) +( ) = = = = ≤7, 解得k≤- 或k≥ 。
又 ∵p、q为方程x +kx+2=0的两实根, ∴ △=k -8≥0即k≥2 或k≤-2
综合起来,k的取值范围是:- ≤k≤- 或者 ≤k≤ 。
【注】 关于实系数一元二次方程问题,总是先考虑根的判别式“Δ”;已知方程有两根时,可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到p+q、pq后,观察已知不等式,从其结构特征联想到先通分后配方,表示成p+q与pq的组合式。假如本题不对“△”讨论,结果将出错,即使有些题目可能结果相同,去掉对“△”的讨论,但解答是不严密、不完整的,这一点我们要尤为注意和重视。
Ⅲ、巩固性题组:
1. 函数y=(x-a) +(x-b) (a、b为常数)的最小值为_____。
A. 8 B. C. D.最小值不存在
2. α、β是方程x -2ax+a+6=0的两实根,则(α-1) +(β-1) 的最小值是_____。
A. - B. 8 C. 18 D.不存在
3. 已知x、y∈R ,且满足x+3y-1=0,则函数t=2 +8 有_____。
A.最大值2 B.最大值 C.最小值2 B.最小值
4. 椭圆x -2ax+3y +a -6=0的一个焦点在直线x+y+4=0上,则a=_____。
A. 2 B. -6 C. -2或-6 D. 2或6
5. 化简:2 + 的结果是_____。
A. 2sin4 B. 2sin4-4cos4 C. -2sin4 D. 4cos4-2sin4
6. 设F 和F 为双曲线 -y =1的两个焦点,点P在双曲线上且满足∠F PF =90°,则△F PF 的面积是_________。
7. 若x>-1,则f(x)=x +2x+ 的最小值为___________。
8. 已知 〈β<α〈 π,cos(α-β)= ,sin(α+β)=- ,求sin2α的值。(92年高考题)
9. 设二次函数f(x)=Ax +Bx+C,给定m、n(m<n),且满足A [(m+n) + m n ]+2A[B(m+n)-Cmn]+B +C =0 。
① 解不等式f(x)>0;
② 是否存在一个实数t,使当t∈(m+t,n-t)时,f(x)<0 ?若不存在,说出理由;若存在,指出t的取值范围。
10. 设s>1,t>1,m∈R,x=log t+log s,y=log t+log s+m(log t+log s),
① 将y表示为x的函数y=f(x),并求出f(x)的定义域;
② 若关于x的方程f(x)=0有且仅有一个实根,求m的取值范围。本回答被提问者采纳