求证三角形垂心的定理
今天奥数辅导时候遇到的，老师一带而过。
三角形的垂心把三角形分成四个等外接圆的三角形，这个定理怎么证？
详细说就是，三条高（这里只是从一顶点到垂心，不用延长到该点的对边，方便你们画图。。。）把原来的大三角形分成3个小三角形，每个三角形和原来大的三角形的外接圆一样大，就是半径一样。
用高中解析几何证明，知识点有正弦定理和三角函数。
正弦定理：△ABC的三个顶点A、B、C所对边分别为a、b、c，
则a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R，R是△ABC的外接圆的半径.
证明：设从△ABC三个顶点A、B、C向所对边作垂线，垂足分别为F、D、E；
三条高线交于一点，即垂心，设为H；
由相似直角三角形的知识易知：Rt△CHF∽Rt△CBE，
则由对顶角相等，可知：∠CHF=∠CBA=∠AHE；
同理：∠BHF=∠BCA=∠AHD、∠CHD=∠CAB=∠BHF；
则∠CHB=∠CHF+∠BHF=∠CBA+∠BCA=180°-∠CAB，
则sin∠CHB=sin(180°-∠CAB)=sin∠CAB，
则在△ABC中BC/sin∠CAB=2R，R为△ABC的外接圆的半径；
而在△HBC中BC/sin∠CHB=BC/sin∠CAB=2R，
即△HBC的外接圆的半径也等于R；
同理△AHB和△AHC的外接圆半径也等于R，得证！
注意：画三角形，就画锐角三角形，钝角三角形的情形与此结果相同，
只是复杂一点，没必要分别考虑！
正弦定理：△ABC的三个顶点A、B、C所对边分别为a、b、c，
则a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R，R是△ABC的外接圆的半径.
证明：设从△ABC三个顶点A、B、C向所对边作垂线，垂足分别为F、D、E；
三条高线交于一点，即垂心，设为H；
由相似直角三角形的知识易知：Rt△CHF∽Rt△CBE，
则由对顶角相等，可知：∠CHF=∠CBA=∠AHE；
同理：∠BHF=∠BCA=∠AHD、∠CHD=∠CAB=∠BHF；
则∠CHB=∠CHF+∠BHF=∠CBA+∠BCA=180°-∠CAB，
则sin∠CHB=sin(180°-∠CAB)=sin∠CAB，
则在△ABC中BC/sin∠CAB=2R，R为△ABC的外接圆的半径；
而在△HBC中BC/sin∠CHB=BC/sin∠CAB=2R，
即△HBC的外接圆的半径也等于R；
同理△AHB和△AHC的外接圆半径也等于R，得证！
注意：画三角形，就画锐角三角形，钝角三角形的情形与此结果相同，
只是复杂一点，没必要分别考虑！
温馨提示：答案为网友推荐，仅供参考
第1个回答 2011-07-22
答案见图片
第2个回答 2019-03-30
教科书上有证明的呀！
第3个回答 2019-03-29
同理可证:△AHB、△AHC的外接圆半径都等于△ABC的外接圆半径。
所涉及的知识点主要是垂直带来角的转换以及高中知识的正弦定理。
供参考。
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