这2009绵阳的中考题，（1）（2）问初二可以解决，第三问有点超纲
如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点（不包括端点），作∠AEF = 90°，使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C（m，n）．
（1）若m = n时，如图，求证：EF = AE；
（2）若m≠n时，如图，试问边OB上是否还存在点E，使得EF = AE？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由
（3）若m = tn（t＞1）时，试探究点E在边OB的何处时，使得EF =（t + 1）AE成立？并求出点E的坐标
（1）由题意得m=n时，AOBC是正方形
如图， 在OA上取点C，使AG=BE，则OG=OE．
∴ ∠EGO= 45°，从而∠AGE= 135°．
由BF是外角平分线，得∠EBF= 135°，
∴ ∠AGE=∠EBF．
∵∠AEF= 90°，
∴ ∠FEB+∠AEO= 90°．
在Rt△AEO中，
∵ ∠EAO+∠AEO= 90°
∴ ∠EAO=∠FEB，
∴△AGE≌△EBF，EF=AE．
（2）假设存在点E，使EF=AE．设E（a，0）．作FH⊥x轴于H，如图．
由（1）知∠EAO=∠FEH，于是Rt△AOE≌Rt△EHF．
∴FH=OE，EH=OA．
∴点F的纵坐标为a，即FH=a．
由BF是外角平分线，知∠FBH= 45°，
∴BH=FH=a．
又由C（m，n）有OB=m，
∴BE=OB－OE=m－a，
∴EH=m－a+a=m．
又EH=OA=n，
∴m=n，这与已知m≠n相矛盾．
因此在边OB上不存在点E，使EF=AE成立．
（3）如（2）图，设E（a，0），FH=h，则EH=OH－OE=h+m－a．
由∠AEF= 90°，∠EAO=∠FEH，
得△AOE∽△EHF，
∴EF=（t+ 1）AE等价于FH=（t+ 1）OE，
即h=（t+ 1）a，且 ，即 ，
整理得nh=ah+am－a2，
∴ ．
把h=（t+ 1）a代入得 ，
即m－a=（t+ 1）（n－a）．
而m=tn，因此tn－a=（t+ 1）（n－a）．化简得ta=n，解得 ．
∵t＞1，
∴ ＜n＜m，故E在OB边上．
∴当E在OB边上且离原点距离为 处时满足条件，此时E（ ，0）．
