一道大学线性代数证明题:设n阶矩阵A满足A的平方=A，E为n阶单位矩阵，证明R(A)+R(A-E)=n

Question

设n阶矩阵A满足A的平方=A，E为n阶单位矩阵，证明R(A)+R(A-E)=n

Answer 1

这是一个很简单的线代证明了！

因为A^2=A，所以A(A-E)=0
则有：
R(A)+R(A-E)小于等于n

又因为(A-E)+(-A)=-E
则有：
R(-A)+R(A-E)大于等于n
由于R(-A)=R(A)
所以R(A)+R(A-E)大于等于n

由夹逼定理可知：
R(A)+R(A-E)等于n

陈文灯的数学考研辅导有专门介绍，楼主可以参考一下。就是一个定理的使用！

相信能够解决您提出的问题！追问

谢谢，再追问一题：已知A、B、C均为n阶方阵，行列式（Ｅ－Ａ）不等于０，如果Ｃ＝Ａ＋ＣＡ，Ｂ＝Ｅ＋ＡＢ，求证：Ｂ－Ｃ＝Ｅ

追答

Ｂ＝Ｅ＋ＡＢ，则有：
B（E-A）=E

Ｃ＝Ａ＋ＣＡ，则有：
C（E-A）=A

上面两式相减，得：
(B-C)(E-A)=E-A
即：
(B-C-E)(E-A)=0
也就是说，矩阵(B-C-E)(E-A)的秩等于0
同时，矩阵(B-C-E)(E-A)的秩小于等于R(B-C-E)和R(E-A)中的最小值。
由于E-A不等于0，所以R(E-A)大于等于1
那么只能是R(B-C-E)=0
即B-C-E=0
所以B-C=E

请楼主参考！

备注：陈文灯的数学考研辅导中都有介绍，楼主看一下即可！

Answer 2

因为A*A=A，所以A(A-E)=0;故A-E的每个列向量都是方程
Ax=0的解，由于A-E中的列向量未必构成解空间的基，所以R(A)+R(A-E)小于等于n；
又由R(A)+R(B)>=R(A+B)；
可得R(A)+R(A-E)=R(A)+R(E-A)>=R(A+E-A)=R(E)=n;所以R(A)+R(A-E)=n追问

故A-E的每个列向量都是方程
Ax=0的解，由于A-E中的列向量未必构成解空间的基，所以R(A)+R(A-E)小于等于n；
这里不明白