ln(1+a^3)/(x-arcsinx),x<0,f(x)=6,x=0,(e^ax+x^2-ax-1)/xsinx/4,x>0,a为何值f(x)在x=0连续

Question

如题所述

Answer 1

f(x)在x=0处连续 只要lim(x→0)f(x)=f(0)即可
∴lim(x→0+) (e^(ax)+x�0�5-ax-1)/xsin(x/4)=6
lim(x→0-) ln(1+ax�0�6)/(x-arcsinx)=6

①当x＞0时sin(x/4)~x/4(等价无穷小)分母xsin(x/4)可代换为x^2/4 分子e^(ax)由泰勒展开得：e^(ax)=1+ax+(a^2/2)x^2+o(x^2)
即x^2+(a^2/2)x^2+o(x^2)
分子分母同时÷x�0�5得：lim(x→0+) (e^(ax)+x�0�5-ax-1)/xsin(x/4)=2a�0�5+4
∴2a�0�5+4=6解得：a=1或a=-1 ②当x＜0时ln(1+ax^3)~ax^3
即lim ln(1+ax�0�6)/(x-arcsinx)=lim ax�0�6/(x-arcsinx)由洛必达法则求极限，得：lim ax�0�6/(x-arcsinx)=lim3ax�0�5/[1- 1/√(1-x�0�5)]整理，得：lim [3ax�0�5 ×√(1-x�0�5)]/[√(1-x�0�5) -1]
分子分母同时×[√(1-x�0�5) +1]再同时÷x�0�5 ，得：lim ln(1+ax�0�6)/(x-arcsinx)=-6a=6∴a=-1