1.用数码1.2.3.4组成的没有重复数字的四位数中,能被11整除的共有（ ）个？

Question

2.一个三位自然数，当它分别被2，3，4，5，7除时，余数都是1，那么具有这个性质的最小三位数是（ ），最大三位数是（ ）。
最好是有详细的过程哦！(╯3╰)

Answer 1

1.被11整除的性质为偶数位和-奇数位和的差能被11整除
所以此处只可能差为0
1+4=2+3
所以8种可能
1243，4213，1342，4312，2134，2431，3124，3421

2.被5整除余1，则末位为1或6
被4整除余1，则为奇数
被2整除余1，则为奇数
所以该数字的末位为1
则该数字为mn1
若该数-1则为mn0
此时，mn0能被2，3，4，5，7整除，
被2，5整除显然可以。
则mn0能被3，4，7整除
被3整除则m+n为3的倍数
被7整除且末位为0的三位数一共13个，为
140,210,280,350,420,490,560,630,700,770,840,910,980
其中能被3整除的一共4个，为
210，420，630，840
能被4整除的一共个，为
420，840
所以最小为421
最大为841

Answer 2

解答：
1、被11整除的性质为偶数位和-奇数位和的差能被11整除
而此处数字只有1、2、3、4
所以偶数位和-奇数位和的差肯定比11小
而又要满足偶数位和-奇数位和的差能被11整除
只可能是偶数位和-奇数位和的差=0
又因为四个数字中只有1+4-（2+3）=0 也就是1、4一组同为偶数位或奇数位
2、3一组同为偶数位或奇数位
所以这样的数字一共有1243，4213，1342，4312，2134，2431，3124，3421 等八组
当然不列出你也可以这样理解：因为要满足题目要求，只要其中一个位置数字定下了 其他位置也就定下了 比如第一个位置是1 那么第三个位置必然是4而2和3则分选第2、4位
所以一个数字定在某位置就有两中可能
所以只要判断某个位置上可能的数个数
比如第一位 可以有1、2、3、4四种可能 所以像对应的数字组合就有8种

2、.题目要求一个三位自然数，当它分别被2，3，4，5，7除时，余数都是1（假设其为X）
则可以理解为如果这个数字减去1后应该可以同时被2、3、4、5、7整除（X-1可以同时被2、3、4、5、7）
2、3、4、5、7都是“这个数减去1后的形成的数”（X-1）的约数
而我们观察发现
除了2为4的约数外其他的各数互相没有约被关系
所以“这个数减去1后形成的数”（X-1）应该是3*4*5*7=420的倍数
420*1=420（X-1=420）
420*2=840（X-1=840）
420*3=1260>1000不是三位数
所以具有这个性质的最小三位数是420+1=421
最大三位数是840+1=841