高考复习的一道函数题

Question

如题所述

Answer 1

已知函数f(x)=x^2-1，g(x)=a|x-1|
(1)若关于x的方程|f(x)|=g(x)只有一个实数解，求实数a的取值范围；
(2)若当x∈R时，不等式f(x)>=g(x)恒成立，求实数a的取值范围；
(3)求函数h(x)=|f(x)|+g(x)在区间[-2,2]上的最大值。
(1)解析：∵函数f(x)=x^2-1，g(x)=a|x-1|
又|x^2-1|=a|x-1|只有一个实数解
当x<-1时，x^2-1+a(x-1)=0==> x^2+ax-a-1=0 (a)
⊿=a^2+4a+4=0==>a=-2
当-1<=x<1时，-x^2+1+a(x-1)=0==>-x^2+ax-a+1=0 (b)
⊿=a^2-4a+4=0==>a=2
当x>=1时，x^2-1-a(x-1)=0==> x^2-ax+a-1=0 (c)
⊿=a^2-4a+4=0==>a=2
(a)-(b)解得x1=-1,x2=1
(a)-(c) 解得x=1
(b)-(c) 解得x1=a-1,x2=1
1为三个方程共同解，且与a取值无关
将-1代入(a)得-2a=0，令-2a>0==>a<0,则(a)(b)交点不会落在X轴上
经检验，当a<0时，方程|f(x)|=g(x)只有一个实数解x=1

(2)解析：当x∈R时，不等式f(x)>=g(x)恒成立
|x^2-1|>=a|x-1|
由(1)知，a<0时，|x^2-1|=a|x-1|只有一个实数解
当a=0时，|x^2-1|>=0
∴|x^2-1|>=a|x-1|也成立
∴满足条件的实数a的取值范围为a<=0
(3)解析：函数h(x)=|f(x)|+g(x)= |x^2-1|+a|x-1|
当x<-1时，h(x)=x^2-1-a(x-1)= x^2-ax+a-1=(x-a/2)^2+(4a-4-a^2)/4
a/2>=-1==>a>=-2时，函数h(x)对称轴x=a/2>=-1，函数h(x)单调减， h(-1)=2a(最小)，h(-2)=3a+3
a/2<-1==>a<-2时，函数h(x)对称轴x=a/2<-1，∴a/2<x<-1时，函数h(x)单调增；x<a/2时，单调减，h(a/2)= (4a-4-a^2)/4，h(-2)=3a+3

当-1<=x<1时，h(x)=-x^2+1-a(x-1)=-x^2-ax+a+1=-(x+a/2)^2+(4a+4+a^2)/4
-a/2<=-1==>a>=2时，函数h(x)单调减，h(-1)=2a (最大值)；
-1<-a/2<1==>-2<a<2时，函数h(x)对称轴x=-a/2，∴-1<x<-a/2时，函数h(x)单调增，-a/2<=x<1时，函数h(x)单调减，h(-a/2)= (4a+4+a^2)/4(最大值)；
-a/2>=1==>a<=-2时，函数h(x)单调增，h(1)=0 (最大值)；

当x>=1时，h(x)=x^2-1+a(x-1)= x^2+ax-a-1=(x+a/2)-(4a+4+a^2)/4
-a/2<=1==>a>=-2时，函数h(x)单调增，h(1)=0 (最小值)，h(2)=a+3
-a/2>1==>a<-2时，函数h(x)对称轴x=-a/2>1，∴1<x<a/2时，函数h(x)单调减；x>a/2时，函数h(x)单调增，h(-a/2)= -(4a+4+a^2)/4(最小值)，h(2)=a+3

综上：在区间[-2，2]上
A=0, 函数h(x)最大值：h(-2)=h(2)=3，最小值：h(-1)=h(1)=0
a=-2时，函数h(x)最大值：h(2)=a+3=1，最小值h(-1)=2a=-4，
A=-3, 函数h(x)最大值：h(1)=h(2)=0，最小值：h(-3/2)= (4a-4-a^2)/4=-6.25
A=2时，函数h(x)最大值：h(2)=a+3=5，最小值h(1)=0， h(-1)=2a=4
A=3时，函数h(x)最大值：h(2)=a+3=6，h(-1)==2a=6，最小值h(1)=0

Answer 2

大一的表示不会……