高三数学难题求教

Question

已知圆M的方程为x^2+(y-2)^2=1,直线l的方程为x-2y=0,点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA、PB，切点为A、B。设经过A、P、M三点的圆N,问圆N是否恒过定点，若过定点求出所有定点的坐标。

Answer 1

AP⊥PM，所以圆心为PM中点，即N。设P(2p，p)，M(0，2)，所以N(p，p/2+1)，圆N方程为(x-p)^2+(y-p/2-1)^2=5p^2/4-p+1，若过定点(a，b)，则a^2+b^2-2b-2ap-bp+2p=0，2-2a-b=0，a^2+b^2-2b=0，b=2-2a，(a,b)=(0,2)或(4/5,2/5)。即过两个定点(0,2)，(4/5,2/5)。