函数对称性结论是怎么推出的

Question

高考函数专题

Answer 1

周期函数是指函数值随自变量的变化而呈周期性变化,正弦、余弦函数都是周期函数.表达式是f(x+T)=f(x)(x取任意值）,如果一个函数能找到满足这一条件的T,那么这个函数就叫做周期函数,周期为T.
f(1+x)=f(1-x) (1+x)+(1-x)=2 也就是说在这个函数中如果两个自变量的平均值为1,则它们的函数值相等,也就是此函数关于x=1对称.
同理,f(2+x)=f(2-x),(2+x)+(2-x)=4 也就是说在这个函数中如果两个自变量的平均值为2,则它们的函数值相等,也就是此函数关于x=2对称.
如果一个函数同时具备两个对称轴,那么,相临的轴的间距就是函数的半个周期,你可以对照正弦、余弦函数的图像发现这个规律.
这样,本题的函数周期为2,那么函数必然还关于x=0对称,所以函数是偶函数.
根据定义或者画图象,不过画图象比较麻烦,一般选择用定义
我来举个例子
f(x)=|sinx|+|2cosx|的周期
我们可以才用定义f(x+T)=f(x)来检验
f(x+2π)=f(x)
f(x+π)=|-sinx|+|-2cosx|=f(x)
f(x+π/2)=|cosx|+|2sinx|不等于f(x)
容易看出最小正周期为π
周期函数的周期问题是十分复杂的.如果,两个函数不能够化成一个函数,一般的可以证明如果两个函数的周期是可公度的,那么,不同周期的两个函数的和,差,积,商的周期是这两个周期的共同的整数倍.如果这俩函数的周期不可公度的,那么,它们的和,差,积,商不是周期函数.
而对待周期相同的两个函数只能具体地分别对待.例如:
y1=(sinx)^2=(1-cos2x)/2.T=π
y2=(cosx)^2=(1+cos2x)/2.T=π
y3=y1+y2=1.T是任意实数,但是没有最小正周期.
y4=sinx/cosx=tanx,T=π.
y5=sin18x+cos15x.T=2π/3=120度是T1=π/9=20度和T2=2π/15=24度的公倍数.
y6=sin2x+sinπx.T1=π和T2=2是不可公度的,因此此函数不是周期函数.
对于任意x,由偶函数知f(x)=f(-x)；又由图像关于x=1对称,所以f(-x)=f(x+2)=f(x).由此即证明了f(x)是周期函数

Answer 2

　　周期函数是指函数值随自变量的变化而呈周期性变化,正弦、余弦函数都是周期函数.表达式是f(x+T)=f(x)(x取任意值）,如果一个函数能找到满足这一条件的T,那么这个函数就叫做周期函数,周期为T.
f(1+x)=f(1-x) (1+x)+(1-x)=2 也就是说在这个函数中如果两个自变量的平均值为1,则它们的函数值相等,也就是此函数关于x=1对称.
同理,f(2+x)=f(2-x),(2+x)+(2-x)=4 也就是说在这个函数中如果两个自变量的平均值为2,则它们的函数值相等,也就是此函数关于x=2对称.
如果一个函数同时具备两个对称轴,那么,相临的轴的间距就是函数的半个周期,你可以对照正弦、余弦函数的图像发现这个规律.
这样,本题的函数周期为2,那么函数必然还关于x=0对称,所以函数是偶函数.
根据定义或者画图象,不过画图象比较麻烦,一般选择用定义

Answer 3

对称大体分为两种，关于轴和关于点的对称，如果是关于轴对称呢，如果这轴是特殊直线，那么恭喜你了，下来的工作就少很多，比如与x，y轴平行，如果这条直线是任意的直线，就要稍稍复杂一些，比如，直线为y＝ax＋b，那么关于这条直线的垂线与函数图像的交点关于这条直线对称，这里可以设垂线的方程为y＝—1／ax＋c，这里c不确定，然后与函数方程联合求解，得出的解是与c有关的两个解，如果验证这两个点到y＝ax＋b的距离相等，这里就必然是与c无关，即c无论何值，距离都一样，就对称了。建议作图，计算要耐心。无它。

Answer 4

思路：y=f(x)关于点（a,b）对称，则对于函数图像上任一点(x,y),则点（2a-x，2b-y）必在函数y=f(x)图像上，即2b-y=f(2a-x),即f(2a-x)+f(x)=2b;这是点对称

Answer 5

根据函数图象的平移知识来理解记忆。本回答被提问者采纳