函数黎曼积分存在定理怎么证明的？

Question

如题所述

Answer 1

黎曼积分存在定理是指在一定条件下，函数在闭区间上是可积的。证明该定理通常需要使用黎曼和可积的定义和性质，以及利用黎曼和的上确界和下确界的概念。
具体证明步骤如下：
1. 首先，利用黎曼和的定义，对函数在闭区间上的分割进行划分，得到分割点和子区间。
2. 接着，利用函数的有界性，证明函数在闭区间上的上确界和下确界存在，并且有限。
3. 然后，利用黎曼和的性质，对分割后的子区间进行求和，得到黎曼和的上和下和。
4. 接下来，证明当分割的区间长度趋于0时，上和下和的差值趋于0，即上和下和的极限存在。
5. 最后，结合上述步骤，利用黎曼和的定义和性质，证明函数在闭区间上是可积的，即黎曼积分存在。
需要注意的是，在具体的证明过程中，可能需要利用一些分析学的知识和技巧，如极限的性质、函数的连续性等。因此，证明黎曼积分存在定理需要一定的数学功底和技巧。
希望对你有帮助。

Answer 2

回答如下：

对于一个函数f，如果在闭区间[a，b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值S，那么f在闭区间[a，b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限S。

扩展资料

对于一元函数有，可微<=>可导=>连续=>可积

对于多元函数，不存在可导的概念，只有偏导数存在。函数在某处可微等价于在该处沿所有方向的方向导数存在，仅仅保证偏导数存在不一定可微，因此有：可微=>偏导数存在=>连续=>可积。

可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导；

可微与连续的关系：可微与可导是一样的；

可积与连续的关系：可积不一定连续，连续必定可积；

可导与可积的关系：可导一般可积，可积推不出一定可导。