函数黎曼积分存在定理怎么证明的?

如题所述

黎曼积分存在定理是指在一定条件下,函数在闭区间上是可积的。证明该定理通常需要使用黎曼和可积的定义和性质,以及利用黎曼和的上确界和下确界的概念。
具体证明步骤如下:
1. 首先,利用黎曼和的定义,对函数在闭区间上的分割进行划分,得到分割点和子区间。
2. 接着,利用函数的有界性,证明函数在闭区间上的上确界和下确界存在,并且有限。
3. 然后,利用黎曼和的性质,对分割后的子区间进行求和,得到黎曼和的上和下和。
4. 接下来,证明当分割的区间长度趋于0时,上和下和的差值趋于0,即上和下和的极限存在。
5. 最后,结合上述步骤,利用黎曼和的定义和性质,证明函数在闭区间上是可积的,即黎曼积分存在。
需要注意的是,在具体的证明过程中,可能需要利用一些分析学的知识和技巧,如极限的性质、函数的连续性等。因此,证明黎曼积分存在定理需要一定的数学功底和技巧。
希望对你有帮助。
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第1个回答  2023-11-16

回答如下:











对于一个函数f,如果在闭区间[a,b]上,无论怎样进行取样分割,只要它的子区间长度最大值足够小,函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值S,那么f在闭区间[a,b]上的黎曼积分存在,并且定义为黎曼和的极限S。

扩展资料

对于一元函数有,可微<=>可导=>连续=>可积


对于多元函数,不存在可导的概念,只有偏导数存在。函数在某处可微等价于在该处沿所有方向的方向导数存在,仅仅保证偏导数存在不一定可微,因此有:可微=>偏导数存在=>连续=>可积。


可导与连续的关系:可导必连续,连续不一定可导;


可微与连续的关系:可微与可导是一样的;


可积与连续的关系:可积不一定连续,连续必定可积;


可导与可积的关系:可导一般可积,可积推不出一定可导。

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