关于用反函数法求导的问题

Question

我们常说:正函数的导数等于反函数的导数的倒数。

举例：原函数：y ＝ ln x
反函数：x ＝ e^(y)
即：反函数x =e^(y)的导数dx/dy=e^(y)等于原函数y=ln x的导数(1/x)的倒数x,即e^(y).

但是为什么反函数是x ＝ e^(y)？难道反函数不是应该是y＝ e^(x)吗？？但是如果这样的话又推不出来啊！

跪求大神解答！

Answer 1

在同一个x-y坐标系内，原函数y=f（x）和反函数x=f^-1（y）是同一个图像，那么对于函数上同一个点（x0，y0）点处的切线，当然就是同一条切线。
在原函数y=f（x）中，导数从几何意义上说，就是x轴正半轴转到切线的角度的正切。
而反函数x=f^-1（y）中，导数从几何意义上说，就是y轴正半轴转到切线的角度的正切。
同一条切线的“x轴正半轴转到切线的角度”和“y轴正半轴转到切线的角度”相加，当然就是90°，那么这两个角的正切当然就互为倒数。
原来的函数y=f（x），而反函数就写为y=f^-1（x），这两个图像关于y=x这条直线对称。
但是这样的原来函数和反函数之间的导数，谈不上什么关系。

Answer 2

反函数的求导法则是：反函数的导数是原函数导数的倒数。
例题：求y=arcsinx的导函数。 首先，函数y=arcsinx的反函数为x=siny，所以： y‘=1/sin’y=1/cosy
因为x=siny，所以cosy=√1-x2；
所以y‘=1/√1-x2。
同理可以求其他几个反三角函数的导数。所以以后在求涉及到反函数的导数时，先将反函数求出来，只是这里的反函数是以x为因变量，y为自变量，这个要和我们平时的区分开。最后将y想法设法换成x即可。追问

那请问为什么这个地方是把x作为了因变量呢？是导数运算的规定吗？

那请问为什么这个地方是把x作为了因变量呢？是导数运算的规定吗？

Answer 3

你的理解有误，真正的反函数应该是x＝e∧y

追问

那请问为什么这个地方是把x作为了因变量呢？是导数运算的规定吗？ 然后如果反函数中， x作为因变量的话，原函数的x，y关系（即x是自变量的时候）还能带入使用吗？ 谢谢！

追答

要理解函数的实质是映射对应，在一一对应下，原函数是y对应于x，反函数是x对应于y。原函数的定义域和值域分别成为反函数的值域和定义域。

原函数x作为自变量的取值范围成为反函数因变量x的值域，慢慢理解吧。

原函数的x，y关系（即x是自变量的时候）还能带入使用的。因为映射（对应）一样，x对y或y对x。

追问

好的，非常感谢

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Answer 4

根据对数函数的定义，y=lnx,写成指数式为x=e^y.
所以x=e^y与y=lnx互为反函数。
中学把x,y互换得y=e^x,称y=e^x与y=lnx互为反函数。

Answer 5

原函数：y ＝ ln x
反函数：x ＝ e^(y)
证明：原函数y=ln x的导数dy/dx＝1/x
反函数x =e^(y)的导数dx/dy=e^(y)
可见dx/dy＝1/（dy/dx),即1/x＝1/e^(y),
x＝e^(y).