向量法如何推导两角和的余弦公式？

Question

如题所述

Answer 1

向量法推导两角和的余弦公式可以通过考虑两个向量在二维平面上的几何关系来进行。假设我们有两个向量，分别是向量A和向量B。这两个向量的模长分别为a和b，它们之间的夹角为θ。
我们可以使用笛卡尔坐标系来表示这两个向量，设向量A的坐标为(acosφ， asinφ)，其中φ是向量A与x轴正方向之间的夹角，向量B的坐标为(bcosθ， bsinθ)，其中θ是向量B与x轴正方向之间的夹角。
为了推导两角和的余弦公式，我们需要找到一个新的向量C，使得它等于向量A和向量B的和。根据向量加法的规则，我们可以将向量A和向量B的对应坐标相加，得到向量C的坐标：
C_x = acosφ + bcosθ
C_y = asinφ + bsinθ
现在，我们可以使用勾股定理来计算向量C的模长c：
c^2 = C_x^2 + C_y^2
= (acosφ + bcosθ)^2 + (asinφ + bsinθ)^2
展开平方项，我们得到：
c^2 = a^2cos^2φ + 2abcosφcosθ + b^2cos^2θ + a^2sin^2φ + 2absinφsinθ + b^2sin^2θ
由于cos^2φ + sin^2φ = 1和cos^2θ + sin^2θ = 1，我们可以简化上述表达式：
c^2 = a^2 + b^2 + 2ab(cosφcosθ + sinφsinθ)
现在，我们可以使用余弦的和差公式来进一步简化表达式：
cos(φ ± θ) = cosφcosθ ± sinφsinθ
因此，我们可以将2ab(cosφcosθ + sinφsinθ)替换为2ab * cos(φ - θ)，得到：
c^2 = a^2 + b^2 + 2ab * cos(φ - θ)
最后，我们可以取平方根得到向量C的模长c：
c = √(a^2 + b^2 + 2ab * cos(φ - θ))
这就是两角和的余弦公式的推导过程。通过向量法，我们能够将问题转化为向量的几何关系，并利用向量加法和余弦的和差公式来推导出最终的结果。这个公式在数学和物理中都有广泛的应用，可以用来计算两个角和对应的余弦值。