n阶矩阵的特征矩阵的秩一定是n，该命题正确吗？有哪里给出证明？

如题所述

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n阶矩阵不可逆说明
|a|=0
那么根据矩阵的行变换必然存在至少一行元素全为0
那么非零行行数必然小于n，就是该矩阵的秩<n
所以阵是降秩矩阵

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第1个回答 2019-12-28

det(λE-A)是A的特征多项式，从而非零（不是零多项式）
由此推出λE-A的Smith标准型所有的对角元都非零，所以λE-A满秩
也可以直接看最高阶非零子式（就是n阶）