隐函数求二阶偏导数的方法是什么？

Question

如题所述

Answer 1

求隐函数的二阶偏导数可以分为两步：

在方程两边先对X求一阶偏导得出Z关于X的一阶偏导，然后再解出Z关于X的一阶偏导。

在原来求过一阶偏导的方程两边对X再求一次偏导。此方程当中一定既含有X的一阶偏导，也含有二阶偏导。

最后把第一步骤中解得的一阶偏导代入其中，就能得出只含有二阶偏导的方程，即可解出。

如：设方程e的z次方-xyz=0确定函数z=(fx,y) 求z对x的二阶偏导数

e^z - xyz = 0

e^z(∂z/∂x) = yz + xy(∂z/∂x）

令z' = ∂z/∂x = yz/(e^z - xy) = yz/(xyz - xy) = z/(xz-x) = [z/(z-1)](1/x)
∂²z/∂x²

= dz'/dx 

= (1/x)[z'(z-1)-zz']/(z-1)² - (1/x²)[z/(z-1)]

= -z'/[x(z-1)²] - z/[(z-1)x²]
将z'代入就有

∂²z/∂x² = -z/[x²(z-1)³] - z/[(z-1)x²] = -(z/x²)[1/(z-1)³ + 1/(z-1)]

拓展资料：

隐函数定义：如果方程f(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数。

隐函数不一定能写为y=f(x)的形式，如x^2+y^2=1。因此按照函数“设x和y是两个变量，D是实数集的某个子集，若对于D中的每个值x，变量x按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，称变量y为变量x的函数，记作 y=f(x).”的定义，隐函数不一定是“函数”，而是“方程”。

总的说来，函数都是方程，但方程却不一定是函数。