死刑立即执行由最高人民法院核准，依据《中华人民共和国刑事诉讼法》：第二百三十五条 死刑由最高人民法院核准。
第二百三十六条 中级人民法院判处死刑的第一审案件，被告人不上诉的，应当由高级人民法院复核后，报请最高人民法院核准。高级人民法院不同意判处死刑的，可以提审或者发回重新审判。高级人民法院判处死刑的第一审案件被告人不上诉的，和判处死刑的第二审案件，都应当报请最高人民法院核准。
第二百三十七条 中级人民法院判处死刑缓期二年执行的案件，由高级人民法院核准。
死刑复核制度是对判处死刑的判决和裁定进行审查和核准的制度，包括对死刑立即执行案件的复核程序和死刑缓期二年执行案件的审查和核准。死刑复核制度具体表现为死刑复核程序，内容包括死刑案件的报请复核、复核和核准等。
在我国刑事诉讼中，包括审判行为在内，一审、二审、再审，都设置有相应的期限。唯独死刑复核程序没有期限。死刑复核是一个特殊程序，复核需要多长时间，不仅《刑事诉讼法》没有明确规定，连最高人民法院司法解释也没有规定。
在司法实践中，对死刑复核期限可长可短，视案件情况由最高人民法院决定。据马永顺律师统计，司法实践中，对重大敏感案件，最高法院复核时间很短，有的用不到一个月，死刑复核程序一般要两个月以上，个别的案件核准需要数年。
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