斯密特正交化后能还原原矩阵吗

Question

如题所述

Answer 1

斯密特正交化后能还原原矩阵。

Gram-Schmidt正交化的每一步都是初等变换，当然保持秩不变。至于一楼所说的特征值不变纯属无稽之谈，Gram-Schmidt正交化未必只针对方阵，即使是方阵也不保证特征值不变。

一般来讲特征向量不能做正交化，注意，是不可以，而不是不需要。正交化相当于QR分解，A=Q*Λ*Q^{-1}一般是不可能等价于A=(QR)*Λ*(QR)^{-1}。

实现：

通过施密特正交化方法就可以实现。下面就来介绍这个方法，由于把一个正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组，所以，上述问题的关键是如何由一个线性无关向量组来构造出一个正交向量组，我们以3个向量组成的线性无关组为例来说明这个方法。