求这个微分方程的确切解，要有过程： u''+u=x^2 0<x<1 u=u(x) u(0)=0 u'(1)=1

Question

如题所述

Answer 1

先解齐次微分方程u''+u=0的通解。
利用特征根方程有λ^2+λ=0，解得λ=±i。齐次微分方程的通解为u(x)=C1cosx+C2sinx。
再求出非齐次微分方程u''+u=x^2的特解。利用微分算子D比较简单。定义D(f)=f'。
原式化为(D^2+1)u*=x^2，即u*=x^2/(D^2+1)。
将1/(D^2+1)Taylor级数展开有1/(D^2+1)=1-D^2+o(D^2)，因为指数比2大的微分算子对于x^2无意义，微分后全是0了，所以只需写到D^2即可。
则u*=x^2/(D^2+1)=(1-D^2)x^2=x^2-2，这就是特解。
所以原方程的解u(x)=C1cosx+C2sinx+x^2-2
再代入u(0)=0，u'(1)=1解得：C1=2，C2=2tan1-sec1
所以，最后得到u(x)=2cosx+(2tan1-sec1)sinx+x^2-2

Answer 2

关于U(x)的齐次方程的特征方程 r²+1=0 r=1和-1 所以设u（x）的通解 Acosx+Bsinx
解得A和B为任意实数
又因为U（X）的非齐次方程的解的形式为x² 所以设特解为C=C1X²+C2X+C3
带入非齐次线性方程组解得 C1=1 C2= 0 C3=-2
所以U（x）=Acosx+Bsinx+C1X²-2
带入条件 u(x)=2cosx+(2tan1-sec1)sinx+x^2-2