如图，正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且AF=EC，连结EF，DE，DF，M是FE中点，连结MC，设

Question

如图，正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且AF=EC，连结EF，DE，DF，M是FE中点，连结MC，设FE与DC相交于点N．则4个结论：①∠EDF=90°；②△BFG∽△EDG∽△BDE；③AD2+AF2=DG?DB；④若MC=2，则BF=2；正确的结论有（　　）A．①②B．①②③C．③④D．①②③④

Answer 1

正方形ABCD中，AD=CD，
在△ADF和△CDE中，

AD＝CD ∠A＝∠DCE＝90° AF＝EC

，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴∠ADF=∠CDE，
∴∠EDF=∠FDC+∠CDE=∠FDC+∠ADF=∠ADC=90°，故①正确；
DE=DF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴∠DEF=45°，
∵∠ABD=∠DEF=45°，∠BGF=∠EGD（对顶角相等），
∴△BFG∽△EDG，
∵∠DBE=∠DEF=45°，∠BDE=∠EDG，
∴△EDG∽△BDE，
∴△BFG∽△EDG∽△BDE，故②正确；
在Rt△ADF中，由勾股定理得，AD²+AF²=DF²，
由△EDG∽△BDE得，

DG

DE

=

DE

BD

，
∴DG?DB=DE²，
∵DE=DF，
∴AD²+AF²=DG?DB，故③正确；
连接BM、DM，
∵M是EF的中点，△BEF、△DEF是直角三角形，
∴BM=DM=

1

2

EF，
又∵BC=CD，
∴直线CM是BD的垂直平分线，
过点M作MH⊥BC于H，则∠MCH=45°，
∵MC=

2

，
∴MH=

2

2

×

2

=1，
∵M是EF的中点，BF⊥BC，MH⊥BC，
∴MH是△BEF的中位线，
∴BF=2MH=2，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②③④．
故选D．