已知函数 ，且 .（1）判断 的奇偶

Question

已知函数 ，且 .（1）判断 的奇偶性并说明理由；（2）判断 在区间 上的单调性，并证明你的结论；（3）若对任意实数 ，有 成立，求 的最小值.

Answer 1

（1） 是奇函数；（2） 在区间 上单调递增；（3） .

试题分析：（1）由条件 可求得函数解析式中的 值，从而求出函数的解析式，求出函数的定义域并判断其是否关于原点对称（这一步很容易被忽略），再通过计算 ，与 进行比较解析式之间的正负，从而判断 的奇偶性；（2）由（1）可知函数的解析式，根据函数单调性的定义法进行判断求解，（常用的定义法步骤：取值；作差；整理；判断；结论）；（3）综合（1）（2），根据函数的奇偶性、单调性，以及自变量 的范围，分别求出函数在 最大、最小值，从而得出式子 最大值，求出实数 的最小值. 试题解析：（1） 即   函数定义域为 关于原点对称 是奇函数                    4分 （2）任取 则            在区间 上单调递增         8分 （3）依题意只需 又                   12分