在平面直角坐标系内，o为坐标原点，其中点a在x轴上，b c在y轴上，且a(8,0)b(0,10)c(0,6).现有两个动点p q

Question

在平面直角坐标系内，o为坐标原点，其中点a在x轴上，b c在y轴上，且a(8,0)b(0,10)c(0,6).现有两个动点p q分别从点a和点b同时出发，其中点p以每秒1个单位的速度，沿x轴向终点o移动；点q以每秒2个单位的速度沿y轴向终点o移动，两点各自到达终点为止，过点p作pd//y轴交ac于点d，连结dq，设动点运动时间为t秒。求1、ad和cd的长度
2、设三角形cdq的面积为s,求s关于t的函数关系式3、是否存在t的值，使三角形cdq为直角三角形，若存在，请直接写出使三角形cdq为直角三角形时t的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

(1)因为△APD∽△AOC，所以AP/AD=AO/AC。
AD=AP*AC/AO=t*10/8=5t/4，CD=√(AO^2+CO^2)-AD=√(8^2+6^2)-5t/4=10-5t/4 (0≤t≤8)
(2)因为Q比P先到终点，所以分三种情况进行讨论：
i)当Q点在B、C之间时，CQ=4-2t，PO=8-t，s(t)=CQ*PO/2=(4-2t)(8-t)/2=t^2-10t+16 (0≤t≤2)
ii)当Q点在C、O之间时，CQ=2t-4，PO=8-t，s(t)=CQ*PO/2=(2t-4)(8-t)/2=-t^2+10t-16 (2≤t≤5)
iii)当Q点到达终点O时，CO=6，PO=8-t，s(t)=CO*PO/2=6(8-t)/2=24-3t (5≤t≤8)
(3)显然0≤t≤2是不可能出现直角三角形的，所以只可能存在于后面两种情况
i)当2≤t≤5时，存在直角三角形在于DQ⊥CQ，此时有QO=DP。由DP/CO=AP/AO得DP=AP*CO/AO=t*6/8=3t/4，QO=10-2t，所以3t/4=10-2t。解得：t=40/11
ii)当5≤t≤8时，存在直角三角形在于OD⊥AC，此时有OD^2=AD*CD。由AC*OD=AO*CO得OD=AO*CO/AC=8*6/10=24/5，所以(24/5)^2=5t(10-5t/4)/4。解得：t=128/25
综合上述，当t=40/11秒或者128/25秒时存在△CDQ为直角三角形

Answer 2

1、由勾股定理，得：AC=10
由图可知：△AOC与△APD相似
∴AD/AC=AP/AO,即：AD/10=t/8
AD=1.25t,CD=10-1.25t
2、△CDQ的髙为：h=8-1×t=8-t,
当点Q在点B与C之间时，CQ=BC-BQ=4-2t(t＜2),则S=1／2(8-t)(4-2t)=t^2-10t+16
当点Q与点C重合时，S=0
当点Q在点C与O之间时，CQ=BQ-BC=2t-4(t＞2),则S=1／2（8-t)(2t-4)=-2t^2+10t-16
3、存在
①当DQ‖X轴时，△CDQ为直角三角形
此时△CDQ与△AOC相似，即QD/AO=CQ/CO
QD=OP=8-t,CQ=2t-4
(8-t)/8=(2t-4)/6
t=40/11
②当∠QDC为直角时，∵∠QCD=∠ACO,∠QDC=∠AOC
∴△QDC与△AOC相似
∴CD/CO=CQ/AC
CD=10-1.25t,CQ=2t-4
(10-1.25t)/6=(2t-4)/10
t=248/49